admin 置乱是图像文件加密的常用方法，为了获得更好的加密效果，我们提出了一种基于分数阶小波变换(FWT)的图像加密新方法。该方法将二维分数阶小波交换与传统的空问蛾图像置乱方法相结合，对数字图像在分数阶小波时频城内进行图像置乱，实现图像的双重加密。
一、分数阶小波变换定义及算法
根据相关资料，我们将FRFT和WT的概念相结合定义的FWT，根据该定义，一个给定二维信号的FWT为：
分数阶域表示为：
式(2)中hamnb（x’，y’）为母小波的尺度和平移函数，amn（am，an）是离散尺度，b=（bx’，by’）是位移尺度；p= [P1，P2]，P1、p2表示二维FWT的分数阶次。
二维FWT的重构公式为：
由式(2)可知，以图像为例二维FWT的计算步骤为：对待分析的圈像先做P1-0，P2-O阶二维FR-FT，然后做二维WT，得到变换后的图像。
根据分析可知以上的FWT是一个可逆的变换，因此可以用于图像的加密处理，图像重构时，先做二维小波反变换(IWT)，然后做-P1-0，-P2-O阶二维FRFT。
二、基于FWT的图像加密
1、基于猫映射的图像置乱方法
猫映射足图像置乱中最基本也是最经典的一个算法。一个数字图像的像素坐标为（x，y）∈S={0，1，2，…，N-1}，则它的猫映射定义为：
式(4)中，N为图像二维矩阵的每行、每列的像素个数。
图像住猫映射的置乱作用下，经过线性拉仲再通过取模的运算进行折叠，达到像素位置变换的目的，不断循环最终达到混乱。这种置乱从表面上看是杂乱无章的混乱，实质上却是有规律的置乱，而且猫映射具有庞加莱回复性。因此，这种单纯地用图像置乱对图像进行加密的方法，较易被未经授权方通过统计分析等方法破译。
2、基于FWT的图像加密方法
为了增强图像的安全性，结合FWT和图像置乱算法，提出了基于FWT的图像置乱加密方法。
FWT和图像置乱方法棚结合实现图像文件加密，具体实现流程如图1所示。
基于FWT的图像文件加密方法具体实现步骤如下：
1)输入原始图像，选定一个小波分解尺度和一对分数阶次( P1-O-O、P2-0-0)，其中P1-0-0、P2-0-0的取值范围均为(O，1]，对原始图像做阶次为( P1-O-O，P2-0-0)的FWT;
2)对变换后的图像进行猫映射置乱，置乱次数为n，得到加密后的图像。
解密过程即将以上加密流程逆向实现。
由以上实现图像加密的步骤可知，该加密方法具有三组的密钥分别为：(1)分数阶次；(2)小波分解尺度；(3)置乱的映射，这三组密钥均可以随机选取，由这三组密钥组成的密钥空间是无穷大的，只有所有的密钥都正确时，图像才能被正确解密。
三、应用实例与分析
1、图像文件加密与解密仿真
选取二维图像“woman”，像素尺寸为256×256，使用綦于FWT的图像置乱方法对其进行加密处理。实际的加密应用中，分数阶数、小波尺度因子以及置乱映射可以在一定范围内任意选取。本实验中，设计了分数阶次P1-O-0=0.40，p2-0-0=0.40；小波基函数为haar小波。采用二层变换分解，小波横向的尺度凶子和纵向的尺度因子设为相等；设计置乱采用猫映射置乱。图2给出了该方法用于图像文件加密和解密的效果图。
图2(a)为原始图像；图2(b)为经FWT变换后的图像；图2(c)为按照以上设计的密钥对原始图像加密得到的加密图像；图2(d)为使用错误的密钥解密得到的错误的解密图像；图2(e)为使用正确密钥解密重构出的正确解密图像。
该方法加密效果明显，只有获得全郎的正确密钥，才能重构出解密图像。三组密钥—分数阶次、小波尺度因子、置乱的映射，都是可以在特定范围内随机选择的，未经授权方想要同时得到这三组密钥是异常困难的事情，因此未经授权方无法从密文图像重构出正确的解密图像。
2、密钥分析实验
本文加密加法具有三组密钥，其中任何一组密钥错误都无法解密出正确的图像。
（1）解密阶次出错
分数阶次足解密过程中一个重要的密钥，设用于解晰的分数阶次为( P1-0，p2-0)。当解密阶次P1-0或P2-0出错时，解密结果分别如图3、图4所示。
图3(a)-图3(f)分别表示P1-0=-0.7、-0.1、-0.5、-0.32、-0.42、-0.38的解密结果；图4(a)-(f)分别表示p2-0=-0.7、-0.1、-0.5、-0. 32、-0.42、-0.38的解密结果。解密实验结果表明：
1)当解密分数阶的阶次P1-0与正确密钥-P1-0-0不一致时无法重构出原始图像；当解密分数阶的阶次p2-0与正确密钥-P2-0-0不一致时也无法重构出原始图像；
2)P1-0选取错误时，图像每一行上的信息无法得到解密，说明了分数阶次p1-0是作用于每一行的；P2-0选取错误时，图像每一列上的信息无法得到解密，说明了分数阶次P2-0是作用于每一列的。
图5、图6分别为解密阶次P1-0、P2-0出现不同偏差时，解密图像与原始图像的均方根误差(MSE)曲线。图5表明解密阶次p1-0越接近正确密钥-p1-0-0（-0.40），解密图像越接近原始图像。 p1-0与-0.40相差越大，MSE越大；P1-0越接近-0.40，MSE越小；当P1-0=-0.40时，MSE为零，此时解密获得了原始图像。图6的结论与此相似。
实验分析可知，解密时作为其中一组密钥的分数阶小波变换阶次-P1-0-0、-p2-0-0具有安全性和鲁棒性。
（2）解密小波尺度出错
当解密小波尺度出错时，解密结果如图7所示，其中，图7(a)为原始图像，图7(b)为解密小波尺度出错的解密图像，图7(c)、图7(d)为部分解密小波尺度出错的解密图像。
由图7(b)可知，解街小波尺度选取错误时是无法解密出正确图像的；由图7(c)可知，当高频小波尺度出错而低频小波尺度正确时，无法获得图像的细节信息，只能看到图像的轮廓；由图7(d)可知，当低频小波尺度出错而高频小波尺度正确时，获得的图像轮廓模糊，但是细节却非常清晰。分析的结果说明二维小波分解后高频部分描述的是细节信息，低频部分描述的足轮廓信息。
实验分析可知，解密时作为其中一组密钥的小波尺度不仅可以提高图像的安全性，还能实现部分解密。
（3）解密映射出错
当解密映射出错时，解密结果如图8所示。
图8分别表示解密采用不同错误映射得到的错误图像。由图8可知，置乱能够降低图像的可见度，使图像达到混乱的效果，要解密出原始图像必须拥有正确的解密映射。
实验分析可知，三组密钥同时作用于图像时，密文图像的解密难度非常高，没有密钥的未经授权方无法通过盲解密获取正确的图像信息。相比于其他加密方法，新方法密钥更多，密钥空间更大，因此保密性更高。
小知识之小波变换
小波变换是近年来在图象处理中受到十分重视的新技术，面向图象压缩、特征检测以及纹理分析的许多新方法，如多分辨率分析、时频域分析、金字塔算法等，都最终归于小波变换（wavelet transforms）的范畴中。
