admin 为获得采用整型运算的似混沌序列，基于Kaprekar变换并利用Kaprekar常数的数学性质，构造一种新的时间序列Kaprekar序列。利用时间序列的分析方法对Kaprekar序列进行功率谱特性、相空间重构、最大Lyapunov指数和主分量等方面的分析，与经典Logistic序列进行比较，得到Kaprekar序列与混沌序列的关系。
一、Kaprekar时间序列
1、Kaprekar变换
印度数学家D R Kaprekar提出一种称作Kaprekar变换的迭代操作，即：首先任意选择一个各位数字不完全相同的4位自然数，即不能有1111，2 222，…等数，然后对这个数的各位数字重新排列，选出最大值与最小值，再将最大值与最小值之差作为新的数并重复进行上述操作。Kaprekar变换操作非常简单，却有一个惊人的结果：
所有选择的数字在7次以内的上述操作之后都会收敛于6 174，并不再变化。以1 21 3为例，结果见表1。
从自然数用经过若干次Kaprekar变换到6 174，产生的序列称作Kaprekar路径。
2、Kaprekar变换的推广
将Kaprekar变换推广到2位、3位、5位、6位直至9位数，计算结果如表2所示。
此外，2位数虽然没有收敛值，但收敛于1个循环；5位数与2位数类似，但收敛于3个循环；6位数收敛于2个数值，还收敛于1个循环；7位数与2位数一样，没有收敛值，但收敛于1个循环；8位数收敛于2个数值，还收敛于2个循环；9位数收敛于2个数值，还收敛于2个循环。
3、Kaprekar序列
根据Kaprekar操作的特殊性质，将符合条件的8 991个4位数的Kaprekar路径连接成一维时间序列：
0 999 8 991 8 082 8 532 6174…1 998 8 082 8 532 6 174 0 999 8 991 8 082 8 532 6 174
此外，也可以用同样的方法构造其他位数的Kaprekar序列，只不过需要对收敛值做一点界定：如有循环，则从每个收敛循环中任意挑选一个数作为收敛值。每个数的Kaprekar路径为到收敛值的路径。
二、Kaprekar序列的时间序列分析
取4位数的Kaprekar序列为研究对象，与典型的Logistic序列相比较。3000个数据点就可以判断一个序列为混沌时间序列，并可以重构相空间。
1、功率谱分析
选取4位数Kaprekar序列的前3 000个数据点进行分析。利用FFT算法，可以对时间序列进行功率谱分析，图1与图2分别是Kaprekar序列与Logistic混沌序列的功率谱，可以看到，两序列的功率谱没有明显区别，都呈现宽频且无明显的峰值特征。
2、主分量分析
主分量分析是一种能够有效区分噪声和混沌信号的方法。对于给定序列[x(1)，x(2)，…，x（n）]，进行主分量分析的步骤如下：
首先，可以选取一个嵌入维数历构造轨线矩阵X(X∈Rkxm，k=N-(m-1)）：
然后计算其协方差矩阵A(A∈Rm*n)：
再计算A的所有特征值λi(i=1，2，…，m)，并按大小排列，求出：
最后，以i为X轴，In(λily)为y轴得到该时间序列的主分量谱。
混沌信号和噪声的主分量分布有着明显差异。混沌信号的主分量谱是一条过定点且斜率为负的直线（或含有类似直线部分），噪声则是一条与X轴接近平行的直线。图3、图4、图5分别给出了Kaprekar序列、Logistic序列和高斯白噪声的主分量分析结果，实验结果表明，Kaprekar序列与Logistic混沌序列相似，而与噪声不同，所以Kaprekar序列具有似混沌的特性。
三、相空间重构与最大Lyapunov指数
在混沌系统中，任一分量的演化是由与之相互作用的其他分量所决定的，根据Takens的嵌入定理，只要选取合适的嵌入维数与时间延迟重构相空间，就可以在拓扑等价意义上恢复系统。
为了确定嵌入维数与时间延迟，采用H S Kim等提出的C-C算法，与Logistic序列比较如表3所示。
对初值条件非常敏感是混沌系统的基本特点，2个靠得很近的初值所产生的轨道，随着时间推移按照指数分离。Lyapunov指数是对这种现象的定量描述。如果Lyapunov指数小于0，则相邻点最终要收敛于一点；若Lyapunov指数大于0，则相邻点最终要发散，如果轨道还有其他稳定因素，则在此共同作用下形成混沌吸引子。因此，判断Lyapunov指数的正负可以作为混沌系统的一个判断标准。
采用Wolf方法计算时间序列的最大Lyapunov指数为1.186 2，说明Kaprekar序列与混沌序列一样对初始值非常敏感。
4、结论
对其他位数的Kaprekar序列进行了类似的分析，得出相同的结论：Kaprekar序列与Logistic混沌时间序列具有相似的特性。
三、Kaprekar序列在图像加密中的应用
1、图像加密算法
混沌信号应用于图像加密中已取得了很好的加密效果。既然Kaprekar序列与混沌信号具有相似的性质，将Kaprekar序列应用在图像加密中，可以预期获得很好的加密效果。
实验中采用了一种基于猫映射和混沌序列加密算法，取得了满意的加密效果。加密算法流程如图6所示。
下面分别介绍猫映射算法与Kaprekar序列加密算法。
猫映射算法：对于N×N像素点的图像，将像素点位置按照某一规则置乱。坐标为（x，y）的像素点，按照：
移动到新的坐标(x'，y')，式(4)中，p，g为正整数，对N取模保证计算出的坐标结果取值范围与原图像坐标取值范围相同。
Kaprekar序列加密：Kaprekar序列加密算法对每个像素的像素值进行扰动，对于整个图像，经过第k次加密后的像素值为：
式中：C(k)为本次加密后的图像的像素值矩阵；C(k-1)为上次加密后的像素值矩阵；I(k)为从Kaprekar序列数值处理得到的整数值矩阵；P(k)为原始图像的像素值矩阵。
图像加密具体算法步骤如下：
步骤1：将图像按照猫映射算法进行像素位置置乱，遍历每个像素点，按照式(4)计算其新的位置。并输出位置置乱后的图像。进行M次置乱，每一次置乱之后，同时改变p，g的值，使得：
式中：p(m)，q(m)为第聊次置乱采用的p，g；K(.)为Kaprekar操作。
步骤2：获得Kaprekar加密序列（在此采用4位数Kaprekar序列与5位数Kaprekar序列，因为像素值为O到255之间的整数，将4位数Kaprekar序列与5位数Kaprekar序列分别归一化为O到255的整数并连接在一起）。
选定Kaprekar初始值，此处选择0001（高位包含3个0表示4位数的1）。
步骤3：将Kaprekar加密序列转化为NxN矩阵。
步骤4：确定初始加密条件C(O)，采用式(5)，完成指定次数的加密。
实验中，原始图像为Lena图像，初始加密条件选C(O)为零矩阵。
2、实验结果
图7为原始的Lena图像，经过猫映射后得到图8，此时图像的直方图分布并未发生改变，图12为图7的直方图，图13为图8的直方图。取Kaprekar序列作为加密序列得到图9，此时图像的直方图分布已经变为图14。
整个加密过程，既改变了像素位置，又改变了像素的值。图10为解密得到正确的图像。图11为在实验中用错一位的I(k)去解密得到错误图像，说明Kaprekar序列与混沌序列一样对初始值极为敏感。其他图像应用本加密算法也取得了相似的结果。
3、结果分析
直方图分析可以很好地反映出图像加密算法抵御统计攻击的能力。加密后的图像直方图分布越均匀，则抵抗统计攻击的能力越强。原始图像的直方图具有明显的统计特性，在进行猫映射变换后，虽然图像发生了变化，但是直方图分布并未变换，仍然具有原始图像的统计特性。而经过Kaprekar时间序列加密后，图像的直方图已经趋于均匀分布，大大增加了抵御统计攻击的能力。
实验中，猫映射加密阶段采用了2个自然数为密钥：a，b都是O到255的任意整数。进行猫映射的次数也是一个密钥，取值范围也为O到255。在Kaprekar序列加密阶段，Kaprekar序列的初始值为一个无符号的长整型数据，取值范围为O到(232-1)。加密次数一般取2到8，此外还需要确定初始加密条件C(O)，C(O)包含N2个0到255之间的整数元素。综上所述，密钥空间为：2563x232xN2x6。
而对Logistic序列而言，因为Logistic序列的每个元素都为双精度浮点数，由于计算机字长限制，Logistic序列的数据精度一般取十万分之一，故Logistic序列加密的密钥空间为：2563x105xN2x6。
所以从计算复杂度来看，Kaprekar序列具有整数存储的优势，可取密钥空间更大。
像素值的改变率(Number of Pixels Change Rate，NPCR)和图像的整体平均变化密度(Unified Average ChangingIntensity，UACI)是用来衡量加密算法抗差分攻击能力的指标。如果图像某个像素值的改变可以大大改变加密后图像，则加密算法具有好的抗差分攻击的能力。
通过与Logistic序列作为加密序列的实验结果进行对比分析，可得出两者具有相似的抗差分攻击的能力，如表4所示。
小知识之Lyapunov指数
Lyapunov指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标,它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。对于系统是否存在动力学混沌, 可以从最大Lyapunov指数是否大于零非常直观的判断出来: 一个正的Lyapunov指数,意味着在系统相空间中,无论初始两条轨线的间距多么小,其差别都会随着时间的演化而成指数率的增加以致达到无法预测,这就是混沌现象。
