admin 对Baker映射进行三维扩展，提出一种基于三维混沌映射的混沌加密方案．与二维映射相比，扩展后的三维Baker映射具有更大的密钥空间、更快的混迭速度和更广的应用范围，这种三维Baker映射与扩散函数相结合，增加了密码强度，起到良好的加密作用。
一、二维Baker映射扩展到三维
连续二维Baker映射是在平面内沿z轴切分竖条，并将每个竖条沿x轴扩展，再沿y轴压缩，保持面积不变，这样层层垒起，这是一个混沌映射，其过程如图1(a)所示。
变换公式为：
将Baker映射过程用于三维空间，即将立方体分别沿x轴和y轴切块，得到4个立方条，再将每个立方条在保持体积不变的情况下压扁，层层堆叠成新的立方体，此过程延续了二维Baker映射的混沌特性，如图1(b)所示。这种扩展的映射过程也可先按x、Z平面作一次二维Baker映射，再按yz平面作一次二维Baker映射而得到。具体过程如下：
1)设原立方块中一点P的坐标为（x，y，z)；
2)按xz平面作一次二维Baker映射，此时P点映射到新的位置P'，即：
3)按yz平面作一次二维Baker映射，此时P'点映射到新的位置P"，即：
将三维Baker映射一般化和离散化，并推广到任意分割和任意尺寸长方体的情况。具体算法如下：
设长方体尺寸为N×M×H，沿x轴方向分割成Lx块，有（ni，i=1，2，…Lx，n1+n2+…+nLx=N}；沿y轴方向分割成Ly块，有{mj，j=1，2，…，Ly，m1+ m2+…+mLy=M}。分割后块nixmj×h中的一点(x，y，z)，经三维Baker映射为：
其中：
二、三维和二维Baker映射的比较
1、参数空间
FridrichCU对二维Baker映射的参数空间作了分析，得出长度为N的映射矩形，其参数空间为2N-1。在三维情况下，分别沿x和y两个方向分块，比二维情况下获得的参数空间更大，密钥空间也更大。对于三维Baker映射，如果沿x轴和y轴的长度分别为Nx和Ny，则其参数空间为：
2、混乱速度
分别用二维和三维Baker映射来置乱相同的图像（将图像像素排列成长方体，便可利用三维Baker映射来置乱），并用分形维数来比较二维和三维Baker映射的置乱速度，对256×256的lena和couple进行测试，得到分形维数和置乱次数的关系如图2所示。映射的分割方式随机选定，计算图像分形维数的距离序列为(4，6，8，10，12，13，15}。
由图2可见，lena图像的分形维数为2.5292，经过一次三维置乱后为2.979 1，经过一次二维置乱后为2.8764，且随着置乱次数的增加，分形维数越接近于3；对于couple图像也有类似的结果。选择不同的分割方式，结论类似，对于相同的图像，三维Baker映射只需较少的置乱次数，便可获得较高的分形维数，可见三维Baker映射比二维Baker映射具有更快的混乱速度。
3、应用范围
扩展后的三维Baker映射可实现三维空间的位置置乱，除了用于图像的置乱外，还可用于立体图像、视频图像序列和多频谱图像序列的加密，以及其他三维数据的加密等。
三、一种基于三维Baker映射的加密方案
混沌映射实现的是混乱功能，如果只用它进行加密，对于已知明文攻击是不安全的。将其与扩散函数相结合，同时增加混乱和扩散的次数，能够增强密码强度。由此构建如图3所示的对称加密方案。
在图3中，扩散函数按光栅扫描方式，采用当前像素灰度值与前一个相邻的像素之间的扩散，这种方式的扩散速度更快。这里按此方法设计一种扩散函数，令Pi为扩散前的像素值，Ci为扩散后的像素值，L为像素灰度级数，则扩散过程为：
C0由用户密钥提供，解密时，反扩散过程为：
四、密码分析及实验结果
1、密文图像直方图均匀分布
图4为图像加密前后的直方图比较，显然，加密后couple图像的直方图比加密前更均匀。通过对多幅图像测试都得到了类似结果。由Shannon对高强度理想密码和唯一性距离的定义可知，对于已知密文攻击，用该方法加密后，密文图像像素间的相关性较小，密文信息对推测密钥的贡献很小，这就增加了破译的工作难度，可见，此密码能够抵抗统计和已知密文攻击。
2、图像序列加密
用以上算法加密Bus图像序列，图像尺寸为240×352以240×352×32的图像块加密，原图像序列和加密后图像序列分别如图5所示（仅列出3幅）。可见，加密后图像内容完全不可理解。
3、算法速度测试
对以上算法与DES加密算法的加密速度进行比较。运行计算机为1.4 GHz CPU/256M RAM/Microsoft Windows操作系统，Baker映射的循环次数为4次。实验结果如表1所示，可见，基于三维Baker映射加密方法的加解密速度很快，达到1.2MB/s以上，因此更适于大数据量、实时性要求高的多媒体数据的加密。
小知识之混迭
根据奈奎斯特采样定律，对模拟信号采样时，采样频率要是信号带宽的两倍以上，才可能恢复出原信号，如果低于信号带宽的两倍，信号的频谱会产生混迭。
