admin 本文将空间变换的思想运用到数字图像文件加密中，证明了小波包分解对图像加密的可行性。分析小波包分解固有性质和现象对加密的影响，指出该算法对传统密图攻克原理的抗破译性，为图像文件加密提供了一个新的方案。
一、空间变换用于图像文件加密
空间变换的思想源于人类对客观事物的描述在现实世界中对任何事物的任意一种描述都有一个具体的空间体作为描述值有意义的前提条件，空间变换就是在不同空间的描述值之间形成一个映射关系，使得对同一事物的描述可以在不同的域内予以分析处理。如果将描述值脱离了具体的描述空间，人们一般无法从描述值中获取关于被描述对像的任何有用信息。
数字图像文件加密要求将一幅明图图像经过某个加密算子的作用，变为可传输的密图图像，接收方通过密钥将密图图像再经过解密算子的作用，还原为明图图像；当在传输过程中密图图像被窃取，没有密钥，解密将很难或根本无法完成，将数字图像看作为信号，利用数字信号空间变换的方法，定义一个数据变换分析空间和原始信号空间到分析空间的映射关系，将此映射关系中的参数看作为密钥，可以利用空间变换的思想完成图像加密与解密，即存在两个能量有限空间H(n)、τ（η）∈L2( R)及映射关系{Ψk|H(n)→τ(θ)}，其中H(n)、τ(θ)分别为明图、密图图像所在空间，密钥选取为映射关系中的参数K。事实上这种加密思想与扩散和混淆函数的构造思想同出一辙，扩散是指将每一位明文的影响扩散到多个输出的密文中，混淆是指使明文和密文的统计特性间的关系复杂化，可统一表达为：fk(.)M→C，其中M为明文，C为密文。在空间变换加密中仅是将M与C放到不同空间中，如果将k令为是一个密码置乱表，M和C均在同一空间中，则本算法就退化为传统的置乱加密，根据加密学基本原理，任意一种变换关系Ψk(.)能够完成对图像的加密工作，需满足条件：
(1)映射关系足够多，即Ψk(.)所在的空间Ψ(Ψk)中有足够多的元素k——密钥空间足够大；
(2)映射与映射之间稍不匹配，映射和反映射后的信息将产生很大的变化，即H(n)→τ（θ）和τ（θ）→H(n)对k敏感；
(3)利用映射数据反推映射关系和原始数据是困难的，即τ（θ）→H(n)不可行；
(4)加密算法具有一定的抗干扰鲁棒性，其中条件(l)是加密的基本条件l条件(2)2是基于对扩散与混淆的考虑；条件(3)是需求加密算法具有单向陷门函数的性质，抗破译能力较强；条件(4)是对信道干扰的考虑．从下一节的分析中可以看出，小波包分析为我们提供了一个非常好的密钥空间，利用小波包分解对数字图像加密是可行的。
二、小波包分解用于数字图像加密的可行性
从数学调和分析的角度，傅里叶变换、DCT变换、小波变换以及RidgeletscsJ等均是在信号分析空间中找到一组基并将信号在该组基上投影，将原始信号表示为投影系数在这组基上的线性组合，对一个信号的小波包分解就是将原信号在小波包空间中的展开，分解系数就是信号在小波包空间基上的投影。将小波包分解技术和空间变换的思想应用到数字图像加密算法中，可以发现它不但可行，而且还具有很多优良性质，为数字图像加密技术提供了一个新方案。
定理：在数字图像加密中，以小波包映射关系作为加密算法，小波系数组作为密钥，是可行的。
证明：此定理保证了以小波包映射关系作为数字图像加密算法是可行性的，同时从小波包分解——重构理论知这种加密算法对图像基本没有损耗，即解密图等于原图像。
1、频带混序、混迭现象及能量泄漏对加密的作用分析
小波包分析中随着分解级数增加到一定程度，将会产生频带混序与混迭现象，这是由小波包分解中隔点采样造成。每次分解都是对上一次分解结果进行采样，使采样频率降低一半，当采样频率低于奈奎斯持频率时，发生频率折迭，对已发生频率折迭的序列再进行分解时，就会产生频带交错。频带混序和混迭现象有利于对数字图像进行加密，小波包分解总体上是将原图像信息按不同尺寸和频率进行的分解，但当混序和混迭现象发生以后，分解级数每增大一级，分解后的频率分布将全局受到影响，从而变得异常复杂，甚至没有规律可循。这说明图像的高级小波包分解系数，频率分布变得混乱，频率折迭和交错产生了许多伪频率段与真实频率段进行交混，而且相互之间受到约束，频率混序和混迭现象使得传统的基于频率分布分析的密图攻克法失效，这对数字图像加密是有利的。
小波包变换是一种等能量变换，不会发生能量的损耗，但能量会在各个子带间进行迁移，称之为能量泄漏。能量泄漏的根本原因在于h（n）和g(n)始终不是理想滤波器，某一频率的能量经过h（n）或g(n)后，会向其它频率段泄漏，能量泄漏的主要地点发生在频率的分割边缘处。对数字图像进行小波包分解，必然会出现能量泄漏，即图像能量在不同频带之间进行了叠加，这对加密而言是有利的．当小波母函数对应的h（n）和g(n)能量泄漏比较大，并进行多级小波包分解时，将出现图像能量较大范围迁移，即原始图像的能量分布在加密图像之中得以较好地隐藏，传统的基于能量分析的密图攻克法将失效，这有利于图像文件加密。
2、小波包分解系数相关性及分解级数对加密的作用分析
在小波包分解空间中，对数字图像的分解实质是将图像在各个子波上进行投影，各级小波包分解系数均是在不同尺度上按频率段对原图像的近似，它们之间必然存在一定的相似性．小波变换还是一种很好的正交（或双正交）变换，图像信号在空域的冗余在小波域得到一定的解除。事实上对空域冗余的解除是从图像编码的角度进行描述的，加密不同于编码，所传输数字图像的小波包分解系数个数恒定，在这种情况下冗余只能在系数组中进行传递而并不能解除！原因很简单，一幅数字图像固定，它所包含的信息量不变，同时小波包分解并没有改变表示这些信息量所需的系数的个数，所以就加密而言，冗余仅是进行了传递，大小并没有改变。小波包分解的这个性质可以理解为图形信息并不是平均地分布在小波包分解系数组中，同时分解系数间又存有制约关系，这恰巧就是一个非常好的混淆操作。这使得传统基于数理统计的密图破译方法失效，同时对空间子域分割逐块分析的破译思想对信息在数据群中的不等量分布和相互存有制约的数据的分析是无效的，小波包分解系数间的相关性提高了加密图像的抗破译能力。
在Mallat算法中Vo尺度上的小波包系数直接令为是图像点的像素值，小波包分解歹尺度空间Vj是在j尺度上对原图像的时频分割，当j取值较小时，j尺度中的低频系数组所包含的能量比较大，依旧可以反映出原图像的大致信息，但当j取值较大时，对M通带算法，分解空间中的子节点个数将以M2j的速率递增，同时每个子节点所包含的像素个数也以M2j的速率递减.对歹进行适当的取值，可以使得单个子节点中所包含的能量不足以大至反映出原始图像具体信息，即使得通过利用各尺度分解系数间相似性解密无法进行．理想情况下，小波包分解空间是无限维，但对于具体的数字图像而言，因小波包分解中的不断隔点抽样，使得小波包分解级数受到一定限制，对m1×m2大小的数字图像，所能够进行的最大分解级数为N=log2min (m1，m2)，实际应用中，对计算速度和保密度进行折衷考虑，一般取为j=5～6即可。
3、小波包空间映射加密算法与已有图像加密算法的比较
图像文件加密本身是一个比较新的课题，已有较为成功的算法并不很多，用可视分存技术加密图像实用性不强，算法的鲁棒性差，即对第一节中的条件4满足性不好，其根本原因在于解密图需由分存图完全匹配而得，噪音将使得匹配无效而无法解密。基于混沌理论的图像加密技术利用混沌现象的初值高敏感特性获得混沌序列，以此序列来覆盖原图像或进行调制．实际使用中2个远程混沌系统的参数不可能完全匹配，采用数字方程迭代的方式计算量大大增加。混沌同步对参数的敏感性不仅不意味着保密性，攻击者反而可以利用这一特点，用参数自适应同步控制的方法对混沌系统的参数（密钥）进行辨识，从而达到破解的目的．利用置乱表对图像编码置乱的加密方式比较简单也最为常见，但对图像的冗余没有进行处理．图像的冗余是非常大的，人们经常可以仅看到少半张图片或跫仅看到几条大致的曲线就能了解其大体内容，没有对图像的冗余进行处理的置乱算法基本上是无法抵抗越来越发达的各种统计破译方法。
小波包空间映射加密算法，对密图传输中的噪音不敏感，鲁棒性较好（见本文实验四）；密钥简单，仅为一个向量；对图像的空间冗余、频率分布、能量分布均具有较好地隐藏。一方面以其自身所拥有的优良性质，使得已有的常见破译手法显得无能为力，另一方面也同任何新生加密算法一样需要经过破译实践的考验。
三、小波包分解用于数字图像加密算法
小波包分解用于数字图像加密是可行的，以小波系数组七作为密钥，相当于确立了一个小波空间，将图像以小波空间中展开，就完成了加密过程，重构即为解密。对一幅数字图像进行加密，密钥七选取为自己定义的一个小波母函数，实际中仅为一个重构滤波器系数组。例如用Daubechies4小波对图像进行加密，解密密钥k为一个1×8向量：[0.2304 0．7148 0.6309 -0.0280 -0.1870 0.0308 0.0329 -0.0106]。直接采用小波包分解公式对图像进行分解：
将小波包分解系数作为密图文件进行传输，接收方根据密钥利用小波包重构公式：
进行图像还原，由第二节的分析可知分解级数对加密性能有一定的影响，实际使用中从加密的快速性和保密度两方面折衷考虑，一般取为j=5～6即可。
四、实验与分析
试验一：加密图像必须满足利用密钥可以解密的要求，选取图像加密中经常遇到的人物、景物和文本图像各一张，分别采用Daubechies4、Biorthgo-na13.5和Symlets6小波对三幅图像分别进行5级小波包分解加密、解密试验，结果如图1所示。
实验二：加密图像必须满足利用不正确的密钥无法进行解密的性质，利用不同小波母函数对密图进行破译试验。用Daubechies4对图像文件进行加密，选取haar和coifletl小波母函数，从小波母函数对应滤波器长度是否相等考虑，选取Biorthgona13.3和Symlets4小波母函数，从小波母函数自身相似性考虑，选取Daubechies3、 Daubechies5和Daubechiesio小波母函数进行解密。结果如图2所示。
实验三：加密图像必须满足利用不正确的密钥无法进行解密的性质，在密钥空间中对数字向量进行穷举破译实验，用Daubechies4对图像文件进行加密，对密钥进行修改并进行解密试验，试验结果如图3所示，密钥是N维向量，其中图3-1是对密钥整体加上参数k，即：h'=h+k，慕中k分别等于：0.0，0.01，0.015，0.02；图3-2是对密钥中的某单独一个分量加上参数志，图中取为对第4个分量修改，即h'(4)=h(4)+k，其中k分别等于：0.O，0. 05，0.1，0.2。
实验四：传输干扰对解密的影响，在传输密图中加入加性和乘性噪音，再对其进行解密，试验结果如图4所示。图4-1是在密图中混入加性噪音再进行解密，即M'=M+k．ξ，ξ为在M的最大值和最小值之间均匀分布的随机噪音，其中k分别等于；0.01，0. 02，0.03，0.04，图4-2a是在密图中混入乘性噪音，即M=(1+f)M，f是o均值，az方差的均匀分布随机噪音，其中a分别为：0.3，0.5，0.7，0.8。作为对比，原图像混入a-0.3的乘性噪音结果如图4-2b所示。
实验结果分析：从实验一可以看到，明图信息在密图中得以较好隐藏，利用密钥解密的解密图与明图基本完全一致，完全满足了解密图可识别的要求，由实验二可以看到，利用其他的映射关系解密是行不通的，即便是滤波器长度选取的相同或者小波母函数属于同一个函数系，参数相差也很小，但解密后的图像仍不能反映出原始图的大致信息．由实验四可知，小波包分解加密算法具有一定的抗干扰性，对传输信道中的噪音干扰具有一定的鲁棒性。由实验三可以看到，在N维的密钥空间中进行穷举解密是根本行不通的。在N维密钥空间中进行穷举解密时，密钥向量的长度N本身就未知，并且由图3—2可知每一维的穷举步长不可能大于0.1（考虑向量各分量同时搜索，由图3-1知，实际中不能大于0.02)。在[-1，1]的密钥、定义域中每一维至少需搜索20次，当N的取值为30的时候，穷举法所需的搜索20次，当N的取值为30的时候，穷举法所需的搜索次数为约1.13×1039次。假定用1000万台每秒钟可以对256×256的数字图像进行5级小波包重构10000次（约每秒进行1. 17×10'G次加乘运算）的计算机同时解密，需要3.17×1021年可以将其破解。
小知识之空间转换
空间转换法，就是以空间的转换为序来组织安排文章内容的写作方法。空间，或者说地点、环境，它是一切事物存在、发展、变化的一种依托、条件和基本形式。也就是说，事物总是在一定的空间存在和发展变化的。
