admin 在信息安全传榆过程中，进行图像文件加密很重要，通过运用四元数的有关知识，我们提出了一种彩色图像加密算法，把彩色图像的RGB值和四元数的三个虚部的系数联系起来，直接用一个四元数来表示彩色图像的像素点，并运用单位四元数的作为密钥，得到一旋转矩阵，随后给出了对彩色图像文件加密的安全体制，该算法具有较强的安全性。
一、四元数简介
1、四元数的定义
四元数的概念是1 843年由爱尔兰数学家威廉，卢云，哈密顿提出的，明确地说，四元数是复数的不可交换延伸，它由实数加上三个元素i、j、k组成。每个四元数都是1、i、j和k的线性组合，设：
其中i、j、k满足j2= j2=k2=ijk= -1，Ij=-ji，ik=-jk=i，ki=-ik=j则称(1)形式的数q为四元数，称a为四元数的实部，记为Re（q）=a，称bi+ci+dk为四元数的虚部，四元数的全体Q={a十bi十cj+dk／z,b,c,d∈r） 。设qi=ai +bii +crj+dik，q2=a2+bzi+cj+d2k，则四元数的加法和乘法定义为：
其中当ql或q2有一个为实数时，不妨设qi =a，则有aqz=aa2+abi +ac2j+ ad2jlc。以下是几个四元数的有关概念：
四元数的共轭：
；四元数的模：
，把|q|=1的四元数称为单位四元数，把a=0，|q|=1的四元数称为单位纯四元数。
四元数的逆：
，则当q为单位四元数时，
。
2、四元数与旋转
四元数有多种表示方法，如复数表示，三角形式以及矩阵表示等，对于形式为(1)的四元数它的三角形式表示为gd ql(cosθ+lsinθ），其中I2=-1，当q为单位四元数时，
有g= cosθ+lsinθ其中l2 =-1，则此时的q称为旋转四元数，其中秒表示旋转角度，I表示旋转轴，其几何意义是以I为转轴，使垂直于转轴平面内的一个矢量按右手螺旋方向
转过2θ角度a将一向量绕某一转轴旋转某个角度可以用以下公式表示：
或：
等式(2)和(3)是等价的，Rota是下面的矩阵：
二、彩色图像文件加密方法
设原始图像A是一幅256x256的彩色图像，记为I（x，y），则可以用纯四元数表示为：
其中R(x，y)，G(x，y)和B(x，y)分别代表x，y处的RGB值。
1、彩色图像四元数旋转变换
给定一单位四元数q作为密钥，由(4)可得到旋转矩阵Ror，将彩色图像A的像素点按3x3分块，其中每一个彩色像素都是用一个四元数(5)的形式表示，对每个分块利用旋转矩阵进行变换得到三阶四元数矩阵B=RowXA。
2、四元数矩阵预处理
变换之后的三阶四元数矩阵B中的系数如果均在0·256之间，则B直接进入3.3进行处理，如果存在不属于0-256之间的数，则把B中的每个元素系数加上B中最大的负数的绝对值得到正矩阵B’，分别对B'中的每一个元素对256进行取模和取整处理，得到矩阵Bnxx和Buu，这样Bmoci和Bint。的每一个元素都在0-256之间。
3、加密图像文件
有定义1：对给定的n阶数字图像P，变换：
aij为 整数，而x1...xn∈{0，1，…，N-1））关于P的周期为mN，mN是使得图像P经一系列变换后恢复到P的最少次数。
定理1以上变换有周期性的充分必要条件为IAI与N互素，其中A是变换矩阵，|A|是矩阵的行列式。
式(6)中的XI∈[1，N-1]∈Z+，把再从正整数域扩展到四元数域，即有:
定义2对给定的n阶数字图像P，变换：
其中aij为整数，q1，…，qn为四元数，其中关于P的周期为mN。图1即加密算法流程图。
三、解密图像
解密图像算法和加密图像相反，接收者把收到的图像分成上下两部分Bmod和Bint，根据得到的密钥k对Bmod进行k次矩阵变换到Bint，Bint进行k次矩阵变换到Bint，由Bmod和Bint即可得到矩阵B，根据所提供的四元数得到旋转矩阵，从而恢复出原彩色图像的四元数矩阵，进而恢复原图像。
小知识之四元数
四元数是最简单的超复数。 复数是由实数加上元素 i 组成，其中i^2 = -1。 相似地，四元数都是由实数加上三个元素 i、j、k 组成，而且它们有如下的关系： i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 , 每个四元数都是 1、i、j 和 k 的线性组合，即是四元数一般可表示为a + bi + cj + dk，其中a、b、c 、d是实数。
