admin 我们利用单层小波变换的压缩感知算法的特点，提出了一种基于斜帐篷映射的混沌图像加密系统的改进方法。这种方法加密时，首先应用基于单层小波变换的压缩感知算法对图像进行初始化，然后对初始化后的图像加密。解密时，首先进行加密映射的反变换解密，然后利用正交匹配追踪算法OMP）对高频系数进行恢复，最后再进行小波反变换重构图像。
一、压缩感知理论概述
传统的信号获取和处理过程主要包括采样、压缩、传输和解压四个部分，在采样过程必须满足奈奎斯特采样定律，fs≥2fmax。即采样频率不能低于信号带宽的2倍。
近些年来出现了一种新的理论-compressed sens-ing戗CS，compresslve sampling)，即压缩感知，或者压缩采样。而压缩感知核心思想是将压缩与采样合并进行，其利用其他变换空间描述信号，使得在保证信息不损失的情况下，用远低于采样定理要求的速率采样信号的同时，又可完全恢复信号，即将对信号的采样转变为对信息的采样。主要包括信号的稀疏表示、编码测量和重构算法三个方面。
信号的稀疏表示是如果长度为N的信号X，在变换域φ中只有K个系数不为零或者明显大于其他系数），且K《N，那么可以认为信号X在西域中是稀疏的并可称为K-稀疏。这是压缩感知的条件，即信号必须可以稀疏表示。常用的稀疏表示方法有离散余弦变换基、小波变换基等。
在编码测量中，文献即指出，测量矩阵必须满足RIP (restricted isometry property)准则，这个性质保证了观测矩阵不会把两个不同的K稀疏信号映射到同一个集合中。最后，运用重构算法由测量值及投影矩阵重构出原始信号。信号重构过程一般转换为一个最小lo范数的优化问题，目前的求解算法有匹配追踪法、正交匹配追踪法(OMP)圈、梯度投影法GP）、链式追踪法等。
二、基于离散斜帐篷映射的混沌加密理论
1、离散斜帐篷映射
帐篷映射是一种简单的混沌系统，对初值的敏感性和迭代轨道序列的相关性以指数递减，其轨道序列可以视为贝努利序列，即具有很强的伪随机特性，可以直接用于对信息的加密。
斜帐篷映射是一种推广的帐篷映射，其定义为：
其中a∈（0，1）时系统处于混沌状态。
一般的混沌映射是多对一的映射，我们提出了一种对混沌映射做一一对应的离散化的一般方法，加密和解密计算将在有限整数集合上进行，不受精度约束，实现更加快速。其离散化映射定义为：
2、正弦迭代映射
文中加密采用的另一个混沌系统为式（3）描述的正弦迭代映射系统：
其中1 <b∈R，系统初值X0∈R且0<xo<10由式（3）产生的系统的Lyapunov指数是Inb>O，因而该系统是混沌的。
3、图像像素值替代算法
现有一幅大小为M×N具有L级灰度的图像，设（i，j）坐标处的像素值为I（i，j），其中1≤i≤M，1≤j≤n，则（i，j）坐标处的像素值经替代操作后变为I（i，j），即要求设计一个映射f使得：
为了使替代操作后的像素值，I（i，j）具有不可预测性，替代操作可以由下式表示：
其中Key（i，j）由式（6）的离散混沌系统产生。为了使用于加密的混沌序列对初始值更加敏感，文中采用正弦迭代预迭代3000次后的值作为式（6）的初值。Key（i，j）具体的值由下面的公式产生：
其中函数round（x）表示取与戈最接近的整数值，利用式（5）实现像素值的替代加密，对所有的像素点（i，j）处的像素值完成替代操作后，即完成了替代操作。
三、加密算法设计
常用的图像文件加密方法有两种：图像置乱和图像像素值变换。文中提出的是一种混沌空间域图像加密算法，第一步为了加快加密过程、节省加密的时间和复杂度先利用基于小波变换的压缩感知算法对图像进行初始化。第二步利用离散斜帐篷映射结合正弦迭代混沌系统对图像通过多次迭代运算实现图像文件加密。
1、 图像初始化
在本加密算法中，首先利用基于单层小波变换的压缩感知理论对图像进行初始化，其操作如下：
步骤1首先将M×N图像分解成N×N的子图像块，然后对N×N的子图像进行单层小波分解，得到{LH1，HL1，HH1，LH1}4个小波子带系数。
步骤2选择合适的M值，构造M×N/2大小的服从（0.1／N）高斯分布的测量矩阵Φ分别对LH1，HL1，HH1进行测量，得到相应子带的测量系数值矩阵，保持低频LL1子带系数不变。
2、图像像素值变换
利用前面介绍的像素值替代法对图像的像素点进行图像像素值变换。
3、图像置乱
1）采用式（3）的正弦迭代混沌系统产生混沌序列{x1，x2，…，xm}，将实值序列{x1，x2，…，xm}中的N个混沌值排列，形成一个新的混沌序列{x1，x2，…，xm}，那么原序列{x1，x2，…，xm}中每一个值xi在新序列{x1，x2，…，xm}中都有与之对应的一个位置编号，因此获得相应的位置编号序列{a1，a2，…，am}，其中ai为{1，2，…，M}中的一个值。
2)采用式（2）的离散斜帐篷混沌映射，产生混沌序列{y1，y2，…，yn}，运用步骤（1）中的方法，获得相应的组成位置编号序列{b1，b2，…，bN}，其中bi为集合{1，2，…，N}中的一个值。
3)将经过像素值替代操作后的像素点置乱到位置(ax，by)，重复多次，完成像素位置的置乱。
4、迭代加密
为了使输出的密文对明文和密钥充分敏感，将替代设计与置换设计重复进行多轮迭代。
5、解密算法实现
步骤1加密的逆过程，输入正确的密钥后，将加密算法逆向运算，即可获得解密图像。
步骤2利用OMP算法分别重构经过测量后的3个高频系数矩阵，并结合LL1子带进行小波反变换恢复图像。
四、实验分析
选择256×256的lena图像，运用Matlab实现计算机仿真，将图像分解成8×8的子图像块，在Matlab下进行加密算法实验，其仿真实验效果如图1所示。
1、效率分析
从明文看，加密图像需要进行预处理，这样不但没有增加加密／解密所需时间，加密图像的安全性反而得到增加，进而也增加了加密图像被攻击破译的难度。
2、统计特性分析
由图2可知，原始图像的直方图变化起伏大且呈不均匀分布，经离散斜帐篷映射算法加密后图像的直方图与原始图像的直方图相比要平坦得多，用改进的加密算法加密后直方图则更加平坦且密文灰度值分布均匀。密文的统计特征与明文的统计特征几乎完全不同，明文的统计特性被扩散到了密文的均匀分布中，明文和密文的相关性大大降低。
小知识之压缩感知
压缩感知，又称压缩采样，压缩传感。它作为一个新的采样理论，它通过开发信号的稀疏特性，在远小于Nyquist_采样率的条件下，用随机采样获取信号的离散样本，然后通过非线性重建算法完美的重建信号。压缩感知理论一经提出，就引起学术界和工业界的广泛关注。他在信息论、图像处理、地球科学、光学/微波成像、模式识别、无线通信、大气、地质等领域受到高度关注，并被美国科技评论评为2007年度十大科技进展。
