admin 为了提高图像加密算法的安全性和高效性，我们提出了一种分段Logistic混沌映射与Cat映射相结合的双混沌系统。首先由改进后的Logistic映射确定选用哪种映射进行迭代，从而确定混沌密钥，最后对加密算法的安全性进行分析。
一、分段Logistic混沌映射和Cat映射
1、分段Logistic混沌映射
一维Logistic映射从数学形式来看是非常简单的混沌映射，但此系统具有极其复杂的动力学行为，因此在保密通信领域的应用十分广泛，其数学表达公式如下：
其中μ∈[O，4]被称为Logistic参数，n=1，2，…，当x∈[O，1]时，Logistic映射工作处于混沌状态，也就是说，初始条件xo在Logistic映射作用下产生的序列是非周期的、不收敛的，但在此范围之外，其生成的序列必将收敛于某一个特定的值。如图1所示。
图1(a)为xo =0.5，μ=3.99时的300次迭代结果，图1(b)为xo =0.5，μ=2.5时的300次迭代结果。
可以看出，在μ取3.569 945 6<μ≤4时，特别是接近4时，迭代生成的值是处于一种伪随机分布的状态，而在其他取值时，经过一定次数的迭代之后，生成的值将收敛到一个特定的数值，这是不可接受的。
当μ=4时，相应的Logistic映射定义为：
混沌系统在初值发生微小变化时，得到的结果就会大相 径庭，图2的Logistic混沌映射就很好地反应了初值敏感性。
图2显示的是xo =0.663 489 000和x0=0.663 489 001，μ=3.99时，两个Logistic序列之差的图像，在最开始20多次迭代， 两者的差很小，近似为0，但随着迭代次数的增加，两个序列的 值显示出一种无规律的情形，两者相差也比较大。 Logistic混沌映射和Tent混沌映射存在着拓扑关系忉，由分段Tent映射的定义公式：
可构造出分段Logistic混沌映射，其混沌映射定义为：
2、 Cat映射
二维的可逆Cat混沌映射每次的运算，都要先线性拉伸正方形的点空间，然后通过模运算分割折叠，如图3所示。
二维cat映射动力学方程式如下：
因为线性转换矩阵行列式为1，所以Cat映射又是区域保 留的。李雅普诺夫指数δ1=(3+ 根号5)/2>1，δ2=（3-根号5)/2<1；当a、b均为1时，就是经典的Amold Cat映射。
二、算法设汁
混沌系统的加密算法，设计关键是对混沌映射的选择，不同的混沌映射在时间复杂度、空间复杂度以及安全性方面都有很大的差别。本文提出的分段Logistic双混沌映射与Cat映射相结合的加密算法，相对一维Logistic混沌映射安全性更高，而相对于三维的混沌Lorenz系统复杂度更低，运算速度更快。
本算法先选定分段Logistic映射和Cat映射的初始值xo、yo和xo。再设定内部参数a=0.4，b=0.6和μ=3.976，将选定的初始值和内部参数作为密钥，而xn、yn。和xn'为分段Logistic映射和Cat映射的中间迭代结果。解密过程与加密过程相同。算法步骤如下：
步骤1设置初始值xo、yo、xo'。
步骤2把xo、yo用分段Logistic映射公式（4）迭代500次，得到xn、yn。
步骤3计算xn×yn×100的值，取其后2、4、6、8位有效数字组成的整数，记为N（O<N<10000）
步骤4当N当N≥5 000时，选用Cat映射迭代5次，得到xn'、yn'。
步骤5计算xn'×yn'×100的值，取其后2、4、6、8位的值，组成一个十进制整数与256取余，得到混沌密钥。
步骤6读取明文，将得到的混沌密钥与明文做异或运算，得到密文字节。
步骤7判断加密是否完毕。
加密解密流程图如图4所示。
三、实验结果及分析
1、实验结果
本算法在Matlab7.0上，对256×256的Lena图像文件加密，其结果如图5所示。
从实验结果上看本算法有效地对图像进行了加密／解密，图5(b)中可以看到，图像在经过加密后完全不能被识别，可见本算法具有较好的置乱性，而图5(d)可以看到，密钥稍有不同，解密出的图像就得不到原图的任何信息，说明该算法具有较高的安全性。而图6中可以看出，加密后的图像被均匀化了，说明该算法具有密码学特征。
2、密切空间分析
为了不被穷举攻击解密图像，加密方案应该具有尽可能大的密钥空间。混沌序列的产生过程中，分别有3个参数和3个初值作为初始密钥，密钥空间可达到1090，由此可见密钥空间很大。而规定的密码位数为8位，因为ASCII字符集最多有95个，所以口令密钥空间为958，因此使用穷举攻击是不可能成功的。
3、 初值敏感性分析
当xo变量有10-8的微小变化时，加密后的图像如图7(a)所示，图7(b)为两图做差的结果。
当y0变量有10-8的微小变化时，加密后的图像如图8(a)所示，图8(b)为两图做差的结果。
当xo变量有10-8的微小变化时，加密后的图像如图9(a)所示，图9(b)为两图做差的结果。
可以看出初值有微小的变化，其结果就相差很大，说明该方法具有很好的初值敏感性。在实际应用中可以根据该算法，对不同的传输对象使用不同的密钥，而不同的对象不可能根据自身的密钥得到其他人的密钥，因此该方法具有很好的安全性和实用性。
4、 加密扩散速度和强度分析
将原始图像的点(1，1)值由原来的138改为137，则像素数目变化速度(NPCR)，像素强度变化速度(UACI)分别利用公式(6)、(7)计算。
图10可以看出，两个图像只有一个像素点不同，但随着迭代次数的增加，两幅图像截然不同。
5、抗攻击性能分析
为测试本算法的抗攻击能力，考虑到Amold Cat算法具有较强的抗击能力，因此选取Amold Cat算法进行对比，如表1所示。
对加密图像根据公式(8)进行峰值信噪比计算，其中I为加密图像，I'为加密图像受攻击后的图像。
可以看出本算法对JPGE压缩、高斯噪声、椒盐噪声、乘性噪声、高斯低通滤波、直方图均衡化和裁剪等常见攻击方法峰值信噪比都比Amold Cat算法的峰值信噪比高，因此该算法具有很好的抗攻击能力。
小知识之李雅普诺夫指数
李雅普诺夫指数指的是对初值敏感(即对混沌现象)的判断需要一个定量的指标, 这个指标就是李雅普诺夫指数,它表示相邻轨线间的平均发散(分离)率, 是一个统计平均量。
