ice ElGamal公钥密码体制是1984年斯坦福大学的Tather ElGamal提出的一种基于离散对数问题困难性的公钥体制。1985年，Tather ElGamal利用ElGamal公钥密码体制设计出ElGamal数字签名方案，该数字签名是经典数字签名方案之一，具有高度的安全性与实用性。后来，ElGamal数字签名体制的变体被使用于数字签名标准DSS中。直到今天，很多新的数字签名方案仍然属于ElGamal数字签名体制的变体或扩展。这个就是ElGamal加密算法。
群
群是一个集合G，连同一个运算 "·"，它结合任何两个元素 a 和 b 而形成另一个元素，记为 a · b。符号 "·" 是对具体给出的运算，比如加法的一般的占位符。要具备成为群的资格，这个集合和运算 (G, ·) 必须满足叫做群公理的四个要求：
1、封闭性。对于所有G中a、b,运算a · b的结果也在G中。
２、结合性。独于所有的G中的a · b和c，等式（a · b） · c = a · （b · c）成立。
3、单位元。存在G中的一个元素e,使得对与所有G中的元素a，等式 e · a = a · e= a 成立。
4、反元素。对于每个G中的a,存在G中的一个元素b是的a · b= b · a = e，这里的e是单位元。
例如整数集合 和加法运算，具有以下性质
- 对于任何两个整数 a 和 b，它们的和 a + b 也是整数。换句话说，在任何时候，把两个整数相加都能得出整数的结果。这个性质叫做在加法下封闭。
- 对于任何整数 a, b 和 c，(a + b) + c =a + (b + c)。用话语来表达，先把 a 加到 b，然后把它们的和加到c，所得到的结果与把 a 加到 b 与 c 的和是相等的。这个性质叫做结合律。
- 如果 a 是任何整数，那么 0 + a = a + 0 = a。零叫做加法的单位元，因为把它加到任何整数都得到相同的整数。
- 对于任何整数 a，存在另一个整数 b 使得 a + b = b +a = 0。整数 b 叫做整数 a 的逆元，记为 −a。
一个群被称为有限群，如果它有有限个元素，元素的数阶叫做群 G 的阶。
例如，模19下7的阶为3，[1, 7, 49, 343, 2401, 16807, 117649, 823543, 5764801...]={1,7,11,1,7,11,1,7,11...}这里的1,7,11循环，实际只有3个元素
循环群
循环群是其所有元素都是特定元素 a 的幂的群(在群运算被写为加法的时候使用术语倍数)。在乘法符号下，群的元素是:
..., a−3, a−2, a−1, a0 = e,a, a2, a3, ...,这个元素 a叫做这个群的生成元或本原元。
本原元
模n下a的阶m=φ(n)，m就是n的本原元，如3是19的本原元
19为质数，因此φ(19)=18）,模19下3的群为：
[1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19683, 59049, 177147, 531441,1594323, 4782969,
14348907, 43046721, 129140163, 387420489, 1162261467, 3486784401L,10460353203L, 31381059609L, 94143178827L...]
用模19来表示
[1, 3, 9, 8, 5, 15, 7, 2, 6, 18, 16, 10, 11, 14, 4, 12, 17, 13, 1, 3, 9L,8L, 5L, 15L]
循环为1, 3, 9, 8, 5, 15, 7, 2, 6, 18, 16, 10, 11, 14, 4, 12, 17, 13,因此该循环群阶为18与欧拉函数结果相等
密钥生成
首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
ElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算 ：
a = g^k ( mod p )
再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：
M = xa + kb ( mod p - 1 ) ，签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
验证时要验证下式：
y^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )
同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
ElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算 ：
a = g^k ( mod p )
b = y^k M ( mod p )
( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算：
M = b / a^x ( mod p )
ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。
