admin 作为矩阵SVD的天然多线性延伸，高阶张量奇异值分解(HOSVD)更适合于较高的三维图像(等于或大于三维)。虽然HOSVD已经应用于图像降噪、水印、复原和压缩中，但到目前为止它并没有应用于彩色图像（三维图像）加密中。
一、HOSVD理论
为了便于区分标量、向量、矩阵和高维张量，文中用不同形式区分标量、一维向量、二维矩阵和三维张量（三维矩阵）。白体表示标量，如a;小写黑体表示一维向量，如a；大写黑体表示二维矩阵，如A；花体表示三维张量，如A。高维张量的展开模型是HOSVD的一个重要步骤。一个张量的矩阵展开也就是张量的矩阵表示，所有的列（或行）向量被逐次堆叠。对于三维张量I1+12+J3，其三维展开如图1所示，自上而下分别是l模式、2模式和3模式的展开。
对于一个三维张量，其HOSVD分解与重建为：
式中：S为奇异值张量；Xk为k模式乘法。通常情况下，公式(l)由公式(2)实现：
式中：A（k为A (k=1,2,3)的第k种展开模式；uk为其酉矩阵；Ⅳ表示张量的维数；⊙表示张量乘法(Kronecker乘法)。
二、提出的算法
文中提出的彩色图像加密方法是基于GT域内的HOSVD变换。
1、加密
对于彩色图像A，它的3个信道AR(Xi，yi)，AG(Xi，Yi) ,Ab(Xi,yi)和随机相位掩模exp[jφR (Xi，yi)]，exp[φG(Xi，yi)]，exp[jφB(Xi，yi)]相乘，相应的随机图像经过GT变换，其变换角度分别为αR，αG，αB：
三维张量g是gR，gG和gB的堆叠，如图2(a)所示，瞬因为g的长、宽、高维度不同，在解密过程中，各分解部分会因为维度特征而很容易地被区分d为了改善这个问题，g首先变换成一个立方体三维张量g’，如图2(b)所示。
然后对张量g’进行分解，公式(2)中的参数N=3，通过g’三展开模式得到如下3个分解模型：
展开模式k被用作一个附加的密钥。所有这些部分S(1)，s(2)，s(3)，u(1)，u(2)，u(3)经过GT变换：
式中：ES(1)，ES(2)，ES(3)，Eu(1)，Eu(2)为密文甜此外，由于它们具有相同维度而不能彼此识别。
2、解密
在解密过程中，密文经过逆GT变换，分别为：
然后g’按公式(2)重建，g’的3种模式为：
最后，从g'中恢复出g。
小知识之奇异值分解
奇异值分解法是线性代数和矩阵论中一种重要的矩阵分解法，在信号处理、统计学等领域有重要应用。
