衰落信道该如何加密 - 夏冰加密软件技术博客

现有的密钥加密方法无法保证密钥分发的安全性。针对上述问题，提出了一种基于信道相位响应独立性的衰落信道加密方法。

一、信道模型及问题描述

考察包含乘性噪声与加性噪声的SISO系统信道模型如图1所示。Alice为发送者，Bob为合法接收者，Eve为窃听者。为了保证Bob的接收质量，采取的策略为Bob向Alice发送反向导频，Alice通过反向导频估计得到合法用户信道的信道状态信息，再通过对信号进行预处理使Bob免受乘性噪声的干扰。Alice与Bob之间的信道称为主信道，主信道为高斯加性白噪声信道，信道冲激响应为Alice与Eve之间的信道称为窃听信道，信道冲激响应为g。

加密前的信息为SN，Alice对SN加密并发送的信号为XN，Bob与Eve接收到的信号分别为YN和ZN。将乘性噪声相对稳定的一段时间称为一个时隙，窃听信道的输入与输出关系为：

其ZN =(Z1,Z2，…，ZN)H、XN=(Xl,X2，…，XN)H（W1，W2，…，WN）H与N=1，2，…均为随机变量，WN是窃听信道上的加性噪声，N为一个时隙内发送的符号长度。

安全通信需要解决的问题包括可靠性和安全性两个方面，即要在保证合法用户Alice与Bob之间通信的同时，不将保密信息泄露给窃听者Eve。这两方面用信道疑义度可以表示为：

其中：H(．|．)为条件熵运算；SNB与SEB分别为Bob和Eve对发送信息SN的估计值。对于任意正数ε，若存在一种编码方式xn=f( sn,h)，当N→∞时使式(2)成立，则称R为密钥速率，R的最大值就称做密钥容量。根据Fano不等式，可以得到Eve误码率与密钥速率之间满足关系：

二、密钥容量及相位独立性加密方法

1、密钥容量

本节主要是推导包含乘性噪声与加性噪声的SISO系统的各态历经的保密容量。由于信道为块衰落信道，所以在一个时隙内g是恒定的，即相位旋转和幅度改变均为常数，而每一个信号采样的加性噪声是不同的。

引入中间变量RN，使其满足：

其中：φg=angle(g)，又因为：

联立式(4)与(5)可得：

将式(6)代入式(1)得到：

同时，可以将窃听信道化为两个信道的级联，如图2所示。

由于一个时隙内φg是一个常数，所以RN与XN存在一一映射的关系：

信道2输入的熵为：

其中：M为符号集中元素的个数。

接收者对发送信息的疑义度为：

当angle（XN）在[0，2π）上均匀分布时，RN与φg独立（证明见附录1），这个假设通常能够满足，此时有，I(RN；φg|ZN)=0，代入式(10)得:

系统互信息为：

将Bob与Eve的信道状态代入式(12)可得信道的安全容量为：

只要XN的分布可以达到AWGN信道容量，那么信道2就可以达到信道容量。。由于要尽可能提高合法用户的通信质量，假定不在主信道方向上制造人工噪声，而在窃听信道方向上制造人工噪声，就有：

证明见附录2。同时，主信道和窃听信道上的相位模糊满足：

当Bob完全确知妒φB时，式(15)中的等号成立；当φE与zBN独立时，式(16)中的等号成立。联立式(13)~(16)可得安全容量上界：

其中：CB2是只考虑信道噪声和增益的信道容量，CE2是同时考虑信道噪声和人工噪声以及信道增益的信道容量。

由于信道是时变的，再加上人为地在窃听信道上制造衰落，所以CE2是随机变量。对式(12)取平均可以得到各态历经的安全容量为：

2、离散PSK信源安全速率

假定使用的调制方式为PSK，调制阶数为M，假设经过信源编码后的符号均匀分布，为了保证Bob的正常通信，M应满足：

即M的取值有一定限制。同时，Eve的相位模糊度满足：

联立式(17)~(20)得到安全容量为：

所以，在每个符号都存在相位模糊的情况下，能够实现完美保密。同时，为了保证Bob的正常通信，需根据式(19)选择合适的调制阶数。

3、利用相位差异连续性对离散PSK信源加密

对于M进制的信源，有M种映射关系，设为f1，f2，…以第i个符号的映射关系为gi，可能的取值有M个。一个时隙Ⅳ个符号的映射关系的联合熵为：

如果不对相位进行处理，则式(22)中除了第一项取值为log2M之外，其他项取值均为零，能够实现的保密容量远远小于式(18)中的结果。

设计这样一种传输方案：首先，Bob广播导频信号，Alice根据接收到的导频估计出主信道的相位响应φB，接着Alice广播一个相位为φ0的信号，由φB和φ0，Alice可以估计出Bob接收到的信号相位为φ1= φB+φo，而由于主信道与窃听信道的独立性，Eve接收到的信号相位φE与φB无关，且有φ2=φ1-φB+φPE，令:

即对于同一频率的信号，主信道与窃听信道的相位响应相差Δφ。

以BPSK信号为例，对坐标系不同区域的定义如图3(a)所示，信号发送到区域4判为+1，发送到区域B判为-1。考虑两个坐标系，一个是Bob的原生坐标，另一个是参考坐标系，也就是9i。在发送每个符号时可能会发生变化，而Alice与Bob依据参考坐标系进行符号的发送与判决。

发送第一个符号时，参考坐标系的区域A与原生坐标系中φ1所在的区域重合，由于Eve不知道φ1所在区域，所以无法判断出发送的符号；发送第二个符号时，参考坐标系的区域A与原生坐标系中φ1所在区域重合，同样由于Eve不知道2φ所在的象限，无法判断出发送的符号。以此类推，在发送第i个符号时发送第二个符号时，参考坐标系的区域4与原生坐标系中劫，所在的区域重合，而Eve无法解出信号。如图3(b)所示，φ位于区域A，则Alice和Bob在对第一个符号进行发送和判决时，都将原生坐标系的区域A、同时也是参考坐标系的区域A的信号当做+1，区域的信号当做-1；在发送第二个符号时，2φ仍位于区域A，则Alice和Bob在对第一个符号进行发送和判决时，仍将原生坐标系的区域A作为参考坐标系的区域4，并将其中的信号当做+1，区域B的信号当做-1。

以BPSK信号为例，假定φ1在[O，2π）上均匀分布，当Eve对φ1没有假设时，gi到gi+1区域A在Bob原生坐标中的转移概率如图4所示。其中，ε=1/2，可以得到：