admin 针对混沌映射会产生瞬态效应，且低维、单峰混沌映射加密算法存在密钥空间小，安全性低等缺点，为此我们提出一个新的雅克比椭圈混沌映射来加密图像，并将位置集合置乱方法与加密变换函散引入到图像文件加密算法中。
1、雅克比椭圆映射
具有不变测度的雅克比椭圆有理映射可定义为N次多项式比值，如模型(1)所示。其中的单参数集合所处区间为[0，1]。
其中，由sn、dn以及cn来替代F:
以上关系可表示为：
从上述可知，雅克比椭圆映射函数sn(u)与变量址和模量K有关。映射r为(N-1)个节点映射，也就是说该映射在单位间隔[0，l]中有(N-l)个关键点，它们具有一介稳定固定点或遍历行为，如图l所示。
对式(1)进行求8chwarziall导数，得到如下模型：
由上述公式可知，这个Bchwarzian导数是负的，限制了稳定周期轨道的数量，具有负schwarzian导数的单峰映射最多有一个稳定的周期轨道；另外，如果关键点没有吸引到稳定的周期轨道，那么这个映射就不会有稳定轨道。因此，映射r最多有(Ⅳ+1)个吸引周期轨道，它们只有单周期的一个稳定固定点或者它们是遍历映射。
根据雅克比椭圆映射(1)，可得如下映射模型：
其中，k代表雅克比椭圆函数的参数。对于上述函数的某个具体参数而言，椭圆混沌映射是遍历的。和其它普通映射相反，由于上述映射的参数是变换的，因此它们并没有显示倍周期，周期N分岔或者逐步过渡到混沌状态，而是在参数的某个固定区域内，它们拥有单个固定点吸引子，对于那些Lyapunovz指数是正的参数值而言，它们无需精确的周期N分岔就可以直接分岔到混沌状态。
1、Lyapunovz指数
图像加密算法应该拥有姣好的初值敏感性。Lyapunovz指数是动态系统中混沌的一个标准。在对雅克比椭圆映射迭代计算之后，考虑相邻的两个点x0与（x0+θ），可将其Lyapunovz指数定义如下：
或者
很显然，这些负值表明这个系统是处于吸引子体系中，而它们的正值则暗示了这个系统是可预测的。Lyapunovz指数的数量与初始点Xo无关，它表明了在不变流形范围内运动是遍历的，因此λ（Xo）是把雅克比椭圆映射的不变流形表征为一个整体。对于雅克比椭圆映射而言，其不变测度和Kolmogorov - Sinai (KS)熵已经得到了计算分析。在本文中，Lyapunovz指数是数值计算的，见图l。对于方程(10)一(11)而言，根据Birkhoff遍历定理可知，其极限在某些轻微的限制条件下是存在的。对初值条件的敏感性可通过LyapunoVz指数来预测。鉴于此，对于混沌加密系统来说，控制参数值必须按照正Lyapunovz指数来选择，对于所有控制参数值而言，使用一个正Lyapunovz指数的混沌映射是非常重要的。因此，雅克比椭圆映射由于其具有多个正的Lyapunovz指数，是混沌加密系统的一个好选择。为了区分雅克比椭圆映射控制参数的合理范围，本文模拟了不同卢值对应的Lyapunovz指数，如图l所示。通过调整初值和控制参数能够产生密钥空间，将雅克比椭圆映射转变为混沌映射，可以改变密钥空间的大小。
二、基于雅克比椭圆映射的图像加密算法
本文提出的图像加密算法如图2。
本文加密算法描述如下：
在映射模型(7)一(9)中，使用选择模型(7)来对图像进行加密：
本文所提出的加密算法由以下步骤构成：
步骤l：输入初始明文图像Lmxn，将其转变成一维阵列Lmxnxl，该阵列中的每个元素都是8bit；
步骤2：设定好初始条件Xo与控制参数K，β，将这些初始条件视为本文算法的密钥，迭代雅克比椭圆映射1000次，并忽略迭代结果，从而有效地消除了映射的瞬态效应。
步骤3：为了使控制参数与初值Xo相联系，增强算法的抗攻击性能与敏感性能，根据加密变换函数得到的M(i)以及初值Xo通过简单的乘除运算，改变控制参数K，β得到新的初始条件（x0，K’，β’），并再次迭代雅克比椭圆映射(5)m×n次，得到一维阵列P={XI，Xz，X3…xmxn}t，加密变换函数：
步骤4：对阵列P={X1，X2，X3…xmxn}t中的值按照从小到大的顺序进行排列，得到一组新的阵列H={X1，X2，X3…xmxn}t。
步骤5：在P={X1，X2，X3…xmxn}t中找出H={X1，X2，X3…xmxn}t的位置，形成一个位置集合S={S1，S2，S3…Smxn}t。其中：
步骤6：使用集合S对初始图像进行置乱处理，得到置乱图像P'。
步骤7：利用密钥流机制量化步骤3得到的一位阵列P，得到与之相应的数组V，得到序列V={VX1，VX2，VX3…Vxmxn}t，计算公式如下：
其中，abs(φi)代表的是|x|，round(X)代表的是对X进行取整,tloor(X)代表的是与X相距最小的X整数(≤x) mod(X,y)代表的是X对y取余；d代表的是图像的灰度级别；
步骤8：利用经过密钥机制处理得到的新序列V={VX1，VX2，VX3…Vxmxn}t再次应用加密变换函数(12)对置乱后的图像中的每个元素进行加密，得到一维密文阵列M(mxn)x1 ={M1，M2…Mmxn}t，改变图像中任意像素点的像素值。
步骤9：重复步骤2。步骤8，直到所有的元素加密完毕。
步骤10：把密文阵列M(mxn)x1 转变成M(mxn)，输出矩阵，将其作为密文图像。
图像解密是加密的逆过程。
小知识之雅可比行列式
雅可比行列式通常称为雅可比式(Jacobian)
它是以n个n元函数的偏导数为元素的行列式。
