admin 结合分数傅里叶变换及菲涅耳变换，在光学图像文件加密系统中分别具有多密钥性和无透镜性的优点，提出了基于分频域和菲涅耳域的光学图像加密方法。
一、加密原理
函数f(x，y)的二维分数傅里叶变换的数学定义式为kαx(x，u)与kβy(y，u)分别为沿x和y方向的变换核；α与β分别为x和y方向的变换阶数，c1为复常数。将(3)式中x和y分别替换为y和βy ，可以得到y方向的变换核和变换阶数。如果利用分数傅里叶变换进行图像加密，即在输入平面为一个二维的光学图像，则可以在x和y2个相互独立的方向上对数据进行加密。
输入光学系统的信息函数为g(x0，y0)的菲涅耳变换表达式的定义为，波数K=2π/λ；z为菲涅耳变换距离；λ为光波波长。将积分式中的相位因子展开，整理后得到在波长和输入、输出平面距离确定的情况下，可以忽略常数相位因子。
因此，菲涅耳变换的离散化计算可以利用快速傅里叶变换算法提高程序的效率。
待加密图像经过平行光照射后，通过与输入平面的随机相位模板(Rand phasemask，RPM)相作用，经x方向的变换透镜作用到达平面P2，完成了x方向的分数傅里叶变换。然后，经过y方向的变换透镜的作用后，在P3平面得到了经过分数傅里叶变换的输出图像。Lx和Ly分别为x方向和y方向的变换透镜，设2个透镜的变换阶数分别为αx和βy，则P1平面和透镜Lx所在平面之间的距离Z1以及P2平面和透镜Ly所在平面之间的距离z2。
式中fx和fy分别为透镜Lx和Ly的焦距。
令RPMi的相位函数为exp(iφ(x1，Y1))，则在输出平面P3得到变换后的图像。
这里，图像经过分数傅里叶变换完成图像的初步加密过程，密钥的个数为3个。如果利用菲涅耳变换的无透镜特性，使加密信息f(x3，y3)与另一RPM2作用后，再经过距离为x3的菲涅耳变换，使系统的加密密钥个数增加到了6个，在系统内的光学元件（光学透镜）没有增加的基础上，提高了系统的安全性能。
设RPM2的表达式为(exp(iφ3(x3,y3))，则经过距离为z3的菲涅耳变换后加密的图像函数fresz为距离为z3的菲涅耳变换算子。为了记录加密图像的相位信息，在输出平面加入一束与输入光相干的参考光，在P4平面上形成加密图像的全息图。设参考光为中A02是我们从通过产生光线的激光器的参数中得到的。
为了得到解密图像，首先需要通过从激光器的参数及加密信息中得到f'（x4，y4，z）。根据光路的可逆性，将加密图像的共轭图像f'（x4，y4，z）*在原系统的输出平面，经过z3距离的菲涅耳变换和随机相位模板RPM2的共轭作用后，再经过变换阶数为-αx和-βy的分数傅里叶变换与RPMi的共轭作用，最后得到解密图像。
二、安全性能分析
从上面的加密、解密过程可以看出，采用改良后的加密系统时，经过分数傅里叶变换后的图像又经过了距离为z3菲涅耳变换，因此，在不知道光波波长和菲涅耳变换距离的情况下不能正确解密图像。
具体分析如下：
由(5)式和(6)式可以得出菲涅耳变换的过程，可以近似看作是信息函数g(xo，Yo)与相位因子相作用后的傅里叶变换谱。 由于相位因子是波长λ和变换距离z的函数，也就是说如果不知道正确的波长和变换距离，是不能得到正确的相位因子的。因此，解密时，如果使用的菲涅耳变换的距离和光波的波长不正确，那么将不能得到经过分数傅里叶变换加密后的图像f(x3,y3)。假设不存在RPMz，则整个系统存在5个密钥，分别是RPM1、2，λ，α和β，比单独使用分数傅里叶变换的加密系统多了2个密钥(z和λ)，而此时整个加密系统并未增加任何光学元件。因此，由上面的分析可知，采用该系统比仅使用分数傅里叶变换的加密系统多了几重密钥，大大提高了系统的安全性。
三、计算机模拟
在这里我们利用计算机模拟整个加密和解密的过程，以验证这种方法的有效性．在整个模拟过程中，我们选择一幅像素为256×256的图像(如图2(a))作为待加密图像。分数傅里叶变换的加密的阶数我们选择(0.4，0.7)，菲涅耳变换的距离为1m。
当我们使用正确的解密阶数(0.4，0.7)的时候可得到正确的解密图像(图2(c))。如果使用错误的解密阶数(0.4.0.75)，(0.35，0.7)，将得不到正确的解密图像(图2(d)和(e))，但是解密阶数正确。然而，菲涅耳变换距离不正确(z=0.8 m)的情况下(图2(f))，同样得不到正确的解密图像，说明菲涅耳变换距离起到了密钥的作用。可见，当一幅图像经过该系统加密后，只有在解密阶数及菲涅耳变换距离完全吻合的情况下，才能得到正确的解密图像。
一般地，我们通过输入图像和解密图像之间的均方差(Mean square error，MSE)来验证加密算法的可靠性。Io(i，j)和I1(i，j)分别代表在像素点(i，j)的原图像和加密图像的颜色数值，这里采用灰度图像，每个像点用8表示，其最大值为255*NXN代表图像所有的像素点的个数。由于分数傅里叶变换在x方向和y方向的变换的独立性和相似性，在保证y方向变换阶数和菲涅耳变换距离正确的情况下，描绘MSE关于x方向变换阶数的图形如图3所示。从图3可以看出，在远离正确的解密阶数的情况下MSE的值很大。另外，在变换阶数从正确到错误变化开始时，其曲线的斜率也很大，这充分说明了这种算法的可靠性。
小知识之菲涅耳域
菲涅耳域：包含信号的区域就叫做菲涅耳区(fresnelzone)。
