admin 应用光学图像加密的思想，我们将离散四元数傅里叶变换( DQFT)与双随机相位加密技术相结合，提出了一种应用于彩色图像的双随机相位加密新技术。基于DQFTf的双随机相位加密技术可将彩色图像作为一个整体进行加密，从而在保持了系统的保密性能的同时，有效地降低了复杂性。
一、彩色图像的DQFI
彩色图像由三个独立分量组成，如在RGB空间，由R，G，B三个分量组成，在HIS空间由H，I，S三个分量组成等等，下面以RGB空间为例进行讨论。对于一个大小为(Xx Y)的彩色图像I(x，y)，x和y分别表示像素所在矩阵的行和列的位置，x∈[0，X-I]，y∈[O，Y-1]，令四元数的3个虚部分量分别代表红（R）、绿(G)、蓝(B)3个基色分量，实部为0，则彩色图像I(x，y)可表示为：
而对于任何一个四元数f= fr+fi+fi+fkk，都可以用模和相位的形式表示为f=lfI ey'，由此可见，一幅彩色图像可以表示为一个四元数矩阵，并与普通复数一样，具有模和相位．
对于彩色图像，fr（x，y）=O，f(x，y)的离散傅里叶变换可定义为：
μ是一个单位纯四元数，即μ的实部为O，模为1，且μ2=一1，由上面的公式可看出，选取不同的μ，所得结果也就不同。
这里我们把f(x，y)称为空间域，F（u，v）称为频率域，所以F(u，v)可看作是彩色图像的频谱，F（u，v）也是一四元数。
二、基于DQ丌的双随机相位加密技术
对于一幅待加密的彩色图像，我们可以按照(2)式先将其表示成四元数矩阵的形式，并记为f(x，y)，设n（x，y），b（u，v）分别代表两个独立的在[O，1]上均匀分布的随机矩阵，加密过程可以分为以下四步：
1)将待加密彩色图像f(x，y)乘以一随机相位掩模函数eμA2πn(xy)后得g（x，y）：
2)将g（x，y）用参数μ1作DQlrl'变换，得到频谱，记为G（u，v）。
3)将G（u，v）乘以另一随机相位掩模函数eμb2πb(uv)，得将H（u，v）：
4)将H（u，v）用参数μ2作DQFT逆变换，得h（x，y），h（x，y)即为加密后的图像，加密过程的数学表达式如下：
其中，参数μ1，μ2，μa，μB均为单位纯四元数，n(x，y)，b（u，v），μ1，μ2，μa，μB作为解密的密钥。
解密过程是加密过程的逆过程。
三、双随机相位加密技术分析
本加密系统中所需的随机相位掩模数量为2，攻击者在不知道这两个随机相位掩模的信息时，无法破解此系统，本方法在保证安全性的基础上，减少了密钥的数量。具体分析如下：在密钥存储问题上，如果是用计算机实现，则密钥占据存储介质的空间大小是主要因素，本文方法中，密钥/μ1，μ2，μa，μB对图像加密的作用要远远小于随机相位掩模n(x，y)和b（u，v），而且其复杂度与占用空间也远小于随机相位掩模，可以忽略，所以这里主要讨论随机相位掩模的数量。现有的对彩色图像进行双随机相位加密的方法中，通常需要的随机相位掩模数量至少为6个，即每个通道在空间域和变换域各需要一个随机相位掩模，也有方法将紧贴彩色图像三通道的3个空间域的随机相位掩模合而为一，即一共至少需要4个随机相位掩模。
为分析方便，我们在此定义一个系统的必要随机相位掩模数量的概念，所谓必要随机相位掩模数量是指一个随机相位加密系统在攻击者不知道密钥的情况下无法破解所需要的最少的随机相位掩模数量，按照这个定义，针对灰度图像的单通道双随机相位加密系统的必要随机相位掩模数量为2，而由于把彩色图像分为三个通道进行处理，其必要随机相位掩模数量分别是4和6，当用少于必要随机相位掩模数量的随机相位进行加密，或因为泄漏等原因使得攻击者未知的随机相位掩模数量小于必要随机相位掩模数量时，攻击者可以恢复部分原始图像，甚至可能获得关于原始图像的重要信息，从而导致泄密。从这个意义上说，本方法所需要的随机相位掩模数量减少为2个，在保证安全性的基础上减少了密钥的数量，有利于密钥的保存与发布。
四、双随机相位加密技术实验结果
我们选取了50幅不同内容、不同格式的彩色图像进行了多次实验，结果表明，与选取图像的特点无关，使用正确的密钥均可准确地恢复原始图像，而用随机的密钥无法恢复原始图像。
用正确的密钥可以准确恢复原始图像，而用随机的密钥无法恢复原始图像。
鲁棒性测试：高斯噪声和椒盐噪声是传输过程中经常会遇到的干扰，为了测试本方法对这两种噪声的鲁棒性，我们对选取的50幅图像进行了多次实验，对加密后的不同图像分别加入不同系数的高斯噪声及椒盐噪声，观察还原后所得图像的峰值信噪比(PSNR)。表1中列出了lena，peppers，airplane，mandrill四幅图像经加噪还原后所得图像的PSNR，其中，高斯噪声的平均值为O，方差为加人系数；椒盐噪声的系数表示噪声密度。
小知识之四元数
四元数是最简单的超复数。 复数是由实数加上元素 i 组成，其中i^2 = -1。 相似地，四元数都是由实数加上三个元素 i、j、k 组成，而且它们有如下的关系： i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 , 每个四元数都是 1、i、j 和 k 的线性组合，即是四元数一般可表示为a + bi + cj + dk，其中a、b、c 、d是实数。
