admin 为了实现光学图像的非线性加密，设计了一种基于随机分数梅林变换的光学图像加密方法，构造了相应的光学加密装置。该装置采用混沌映射生成一对共轭随机相位掩模放置于分数傅里叶变换光学装置的两端，对分数傅里叶变换的核函数进行随机化处理，得到随机分数傅里叶变换。随机分数梅林变换由对数一极坐标变换和随机分数傅里叶变换组成，光学图像经随机分数梅林变换得到复值密文，从而完成图像的像素值和像素点位置的双重加密。
一、光学图像加密系统
1、分数梅林变换
其中：Kp(x，y，u，v)=Kp(x，u)Kp（y，v）。利用透镜的聚焦效应和菲涅耳衍射效应相互平衡实现二维FrFT。
其中：C为常数。FrMT的一种快速实现方法是将f(x，y)由笛卡尔坐标系转换到对数一极坐标中，冉对转换结果实施FrFT，即：
对数一极坐标变换定义如下：
对数一极坐标变换决定了分数梅林变换具有非线性属性。
2、光学图像文件加密过程
在经典的双随机相位光学加密技术中，相位掩模如果在传输或保存中损坏或丢失，就无法对加密信息进行解密，这限制了其在实际中的应用。合理的方法是用密钥序列生成器生成加密掩模，解密者只要知道密钥序列生成器的参数就能重构解密相位掩模。这样，密钥序列生成器就成为设计关键。密钥序列随机性越强，密码分析就越困难。Kent映射对初值具有高度敏感的特性，其混沌序列具有类随机性、遍历性和均匀分布的特性，是一个典型的密钥序列生成器，系统方程为：
其中：O<a<1，当x0∈[o，1]，n≥1时xn∈[o，1]。
我们用Kent混沌序列xn重构一个在[O，1]中均匀分布的二维随机数组Q，运用空问光调制器将Q调制成一对共轭的随机相位掩模，即：R= exp[i2πQ]，R‘=exp[-i2πQ]。将R和R‘分别放在透镜的输入和输出平面，实现FrFT核函数的随机化处理，构造的随机FrFT表示为：
其中：kpr(x，y，u，v)=R(x,y)Kp(x，y,u，v)R‘(u，v)。
根据式(4)，定义随机分数梅林变换为：
基于随机分数梅林变换的加密光路图，f(x，y)是待加密的图像，滤波器H用于实现f(x，y)的对数-极坐标变换；一对共轭的相位掩模R、R’和透镜Lens组成随机FrFT，原始网像经FI1对数一极坐标变换和随机FrFT构成的随机FrMT进行图像的像素值和像素点位置的双重加密，直接得到复值密文g(u，v)。分数阶户和Kent映射的初值x0作为加密系统的密钥。
密文的解密过程H‘是与H共轭的滤波器
二、统计特性分析
为了验证所提出方法的可行性，在Matlab平台上对提出的方法进行了计算机模拟仿真，用直方图和像素相关性分布图对仿真结果进行了分析。数值模拟时，分数阶次p=0.5，Kent映射的初值x0=0.5，a=0.4。原始待加密图像分别为复值密文的振幅和相位分布图，它们类似于噪声图像。原始图像的直方图，密文振幅的直方图。与原图的直方图相比，明显变平滑了，密码分析者难以通过统汁特性获得原始图像的特征。
雪崩效应是衡量图像加密安全性的一个重要标准，严格雪崩效应指出，当改变明文或密钥中的任意1位，几乎所有的密文数据位将发生变化。实验中将明文(10，10)处的灰度值由170改为171，当密文数据保留有效位数分别为5位和6位时，测得的密文像素值分别改变了55.69%和84. 92%。改变明文中任意位置的1位灰度值i测试结果相近，说明密文数据位基本都有不同程度的改变，算法有较强的明文敏感性。
为了说明加密方法符合经典密码理论中的混淆与扩散思想，在密钥相同的条件下，用本方法加密所示的图像ILena。直方网明显不同。密文直方图如图4(c)所示，与图3(e)比较，可以看到，不同统计特性的图像获得的密文具有类似的直方图。在进行大量类似实验后，可以得出这样的结论：具有不同直方图的图像其密文具有相似的直方网，攻击者难以通过统计特性进行密码分析而获得密钥信息，因此，加密方法可有效抵抗统计分析攻击。
相邻像素的相关性反映像素的扩散程度，原始图像的水平、垂直和对角方向的相邻像素具有很高的相关性，而安全的加密方法得到的密文相邻像素相关性要尽可能小b表1给出了明文和密文图像在水平、垂直和对角线方向上桕邻像素的栩关系数。图5为明文和密文在水平方向上相邻像素的相关性分布网。从相关系数表和相关性分布图可知，密文的相关性显著弱于原图的相关性，无法通过相关性分析由少量图像信息恢复明文。
三、加密安全性分析
一般采用均方误差( Mean Square Error．MSE)来衡垃解密图像和原始图像的相似程度，通常取MSE=3=000作为阙值，当均方误差低于此阙值时，可以部分恢复原始图像。均方误差定义为：
其中：MXN为图像的大小，h1（i，j）和h2(i，j)分别代表原图和解密图像的厌度值。
1、密钥安全性分析
加密系统的密钥为Kent映射的初值x0和FrMT的分数阶户，为了验证选取Kent映射初值作为密钥的安全性，设分数阶密钥P正确，分析如在[O，1]之间变化对应解密图像的MSE曲线，如图6所示，结果显示，x0作为密钥灵敏度非常高，拥有巨大的密钥空间，能有效抵抗穷举攻击。实验中引入偏差缝△对比两幅解密图像，当△=1×10-16时，即x0由0.5增大到0.500 000 000 000 0001时，MSE由47.8增大到10558。远大于解密闭值，均方误差放大了221倍，密钥微小的改变使得密文的数据发生了巨大变化。
图7对分数阶密钥p计算了解密网像的MSE曲线。图中两幅解密图对比了不同的偏差量对解密效果的影响。当P的偏差为±0.001时，解密图像MSE达到382.4，还可以解密出较清晰的原始图像；当P的偏差为0.003 5时，解密图像的MSE到达阈值，解密图像有相当强的噪声，不能还原原始图像。随机FrMT分数阶密钥有微小偏差时，MSE曲线上升很快，说明将变换阶次作为密钥有较高的灵敏度，使得穷举攻击很难成功，完全可以作为加密系统的主要密钥。
2、鲁棒性分析
图像处理和传输过程中都会有噪声的影响，所以加密系统的鲁棒性很重要。将均值为零，方差为0.1的高斯噪声N加入密文E中，加入噪声干扰后加密图像的复值密文为E'：
其中：k是噪声强度系数。走变化时，解密图像MSE的变化曲线如图8所示。图中给出的两幅图像分别对应原始图像受到强度为k=0.5和k=1的噪声攻击后的解密图像。它们的MSE值分别为230和820，都远小于阙值，这表明加密系统具有良好的抗噪声攻击能力。
密文被裁剪1/4后的解密结果，图9(b)为密文被戡剪1/2后的解密结果，图像的大部分信息依旧能够恢复，该系统具有良好的抗裁剪攻击能力。
小知识之雪崩效应
雪崩效应就是一种不稳定的平衡状态也是加密算法的一种特征，它指明文或密钥的少量变化会引起密文的很大变化，就像雪崩前，山上看上去很平静，但是只要有一点问题，就会造成一片大崩溃。 可以用在很多场合对于Hash码，雪崩效应是指少量消息位的变化会引起信息摘要的许多位变化。
