admin 针对一维离散混沌加密系统密钥空间小、安全性能差等缺点，我们提出了一种基于连续混沌系统通过最小二乘法构造离散混沌系统的方法，改进了加密解密实数混沌序列映射为加密解密因子序列的位序列方法。
一、基于连续混沌系统的离散混沌系统的构造
混沌运动是非线性确定性系统的一种内在类随机过程的表现。一般来说，混沌运动具有下面特征：长期运动对初值的极度敏感性，即长期运动的不可预测性，初始值的微小差别经过一定时间后可导致系统运动过程的显著差别；运动轨线的往复折迭的无规则性，即局部不稳定和整体稳定特性；混沌运动的类随机性；具有宽的Fourier功率谱、正的Lyapunov指数和正的测度熵等统计性质。由于混沌系统提供了良好的复杂性和类随机性，因此特别适用于信息的安全保密工作。
简单的一维离散混沌系统（如Logistic映射）由于自身结构过于简单而导致其加密系统存在着安全隐患；连续混沌系统一般具有更复杂运动形态和更高的随机性更适合信息的安全保密，但是它也存在着计算量大，不适合数字电路实现和实时工作性差的缺点，因此本文提出了一种基于连续混沌系统通过最小二乘法构造离散混沌系统的方法。
首先，对连续混沌系统（即原型混沌系统）的输出进行采样；其次，根据连续混沌系统的特点假设离散混沌系统（即派生混沌系统）的结构；最后，通过最小二乘法根据连续混沌系统的采样值确定离散混沌系统的结构参数。
从中可以发现派生混沌系统的吸引子也具有分形特征。经过进一步分析，得蓟派生混沌系统初值有微小差异的响应差值曲线由两组有微小不同初值（分别是(-1.287 7，-1.2730，-1.2392)和(-1.2876，-1.273 0，-1.2392））得到的派生混沌系统响应差值曲线，可以看出由于初值的微小变化使得系统的响应曲线有着明显的差异。
由此可见，基于连续混沌系统通过最小二乘法构造的派生系统在某些结构参数下具有复杂的演化规律，拥有混沌特征，可以用于信息加密。
二、信息加密在离散混沌系统中的应用
基于离散混沌系统的信息加密和解密模型。离散混沌系统产生混沌序列，密钥由迭代初始值(x(k-l)，x(k-2)，x(k-3））和离散混沌系统的结构参数(a1，a2，a3，b1，b2，b3，f)构成。
目前，加密解密混沌序列映射成加密解密因子序列的方法大体上可分为2值（或挖值）序列和位序列两种。2值序列是把实混沌序列{xk:k=0，1，2，…}与一阈值作比较，当大于阈值置1，否则置0。由于2值序列混沌随机性损失较大，又提出n值序列的映射方法，是将实数混沌序列在其最大值和最小值之间按2n级等级线性映射，得到以位二进制序列作加密解密因子序列。
位序列是把实混沌序列{xk:k=0，1，2，…}中的xk去其整数部分，改写为L-bit的浮点数形式：
其中bi(Xk)是xk的第i位，加密解密因子序列可表示为{bi(Xk)：i=0，1，2，…，L;k=0，1，2，…}。
本文采用了一种改进的位序列方法。取式(3)xk小数点后的前锄位，构成整数：
然后取xk二进制表达式的某一位构成位序列。如果取xk二进制表达式第一位，可以表示如下：
式中&是与操作符。研究表明，改进后的位序列既保留了原实数混沌序列的随机性又方便后续加密和解密算法的操作。
三、安全性分析
由图3可以看出当以混沌系统初值为密钥，如果初值有微小的变化将会引起混沌序列的激烈变化，所以要想破译密文，必须准确知道混沌系统初值。
如果以混沌系统的结构参数为密钥，当结构参数发生变化时，混沌系统的分叉图。这里把式(2)中的a1改为2.0000，可以看出混沌系统的形态发生了很大的改变。
由以上分析可知，基于连续混沌系统通过最小二乘法构造的离散混沌系统可以扩大密钥选择的范围，增加了系统的安全性。
小知识之最小二乘法
最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
