admin 为了保护图像信息的安全，我们利用组合理论知识，提出一种新的基于可逆整数矩阵的、具有完整性检验能力的图像加密方案。该方案将一个灰度图像加密生成一个脆弱的噪声密图，解密过程是加密的简单逆过程。密图的完整性可以凭借人类视觉系统进行检验，不需要任何复杂的计算。当密图遭受恶意篡改时，解密得到一个噪声图，无法得到原始图像的任何信息。
一、关于模M的可逆整数矩阵
基于组合理论的性质，利用一个整数导出了可逆整数矩阵和其逆矩阵的表达式。设给定整数x≥O，由关系式：
为元素可以定义一个n阶方阵：
它的元素都是整数，称之为整数矩阵。以关系式：
为元素可以构造一个与A(x)互逆的n阶整数矩阵：
其中规定：Co1=1，且当n<m或m<0时Cnm=O。
由资料证明可知，所构造的矩阵A(x)和B(x)互逆，且矩阵均由x决定。在图像加密过程中，x可以作为加解密的密钥。
但是由于计算组合数的缘故，导出生成的可逆矩阵元素值可能非常大，以致超过256灰度级的范围。为了解决这个问题，将以上得到的可逆矩阵的所有元素模M。显而易见，模M后的矩阵同样是模可逆的，即：
其中A'和B'分别是A和B模M后的矩阵。由于图像的灰度级为256，为了使得加密后的密图仍为256的灰度级别，本文中令M为256。
二、基于可逆整数矩阵的图像加密方案
一幅灰度图G可以视为一个元素值为[O，255]的整数矩阵。本方案首先给出密钥x、M= 256、以及密钥矩阵的大小blocksize，然后根据前面描述的算法，产生一对模256的可逆矩阵A和B，其值的范围为[O，255]。在加密方案中，矩阵B用来作为加密的密钥，而A用来作为解密的密钥。 A和B均可由x导出生成，在加密解密过程中，仅需要把x作为密钥保存即可。
加密前对秘密图像进行预处理，即将原始图像的像素加128，目的是为了处理全黑的特殊情况。解密恢复时，把得到的结果相应的减去128。假定，经过预处理之后的灰度图像为：
其中gij为图像坐标(i，j)处的灰度值。
1、加密过程
加密过程分为两个过程，具体描述如下：
Phase 1 将密钥矩阵B从图像G的左上角，以1/4 - blocksize的步骤，从左到右，从上到下覆盖地扫描到右下角，得到Gfo移动过程中，密钥矩阵B和扫描经过的图像块block的作用方式：
Phase 2 将密钥矩阵B从G'右下角，以1/4-blocksize的步骤，从右到左，从下到上覆盖地扫描到左上角，得到G''。移动过程中，密钥矩阵B和扫描经过的图像块block的作用方式：
加密过程中的扫描方式，决定了块的变化将对其他块的恢复产生影响。而扫描过程中，加密矩阵和矩阵块的作用方式，决定了块内点的变化将对块内其他点的恢复产生影响，这就增加了像素点之间的相关性。这样，加密图像出现微小变化，将影响到恢复图像的全局变化。因此，该图像的加密方案是脆弱的。该性质可以用作图像信息的完整性检验。
2、解密过程
解密密钥A同样可由x生成导出，且A与B是模256的可逆矩阵。解密过程是加密的简单逆过程，也分为两个阶段，具体流程如下：
Phase 1 将密钥矩阵A从G"的左上角，以1/4-blocksize的步骤，从左到右，从上到下覆盖地扫描到右下角，得到G'。而移动过程，密钥矩阵A和扫描经过的矩阵块block的作用方式：
Phase 2 将密钥矩阵A从G'的右下角，以1/4-blocksize的步骤，从右到左，从下到上覆盖的扫描到左上角，得到图像G。而移动过程中，密钥矩阵4和扫描经过的矩阵块block的作用方式：
最后，将图像G的像素按照预处理的逆过程减去128，便可得到原始的秘密图像。
三、实验结果及分析
1、实验结果
在实验中，令密钥x=1，blocksize=32，M= 256。根据前面描述的算法，产生一对模256的可逆整数矩阵A和B，作为密钥矩阵。选择复杂图像Fishingboat，Lena，Clock，Babooi和简单黑白图像S作为测试图像，所有测试图像大小均为256-256。系统环境Wmdows7，安装内存2G，CPU2.90GHZ，实验测试环境matlab7.9 0实验结果如图1所示。
图1的实验结果表明，不管是复杂的自然图像，还是轮廓明显的简单黑白图像，加密后的密图是一个均匀的噪声图。而且，当密图中的某一个像素发生微小变化时，解密得到的图像仍然是噪声图，得不到原始图像的任何信息，所以该加密方案是脆弱、易损的。通过人眼视觉可以判断该秘密图像是否被篡改，从而检验密图信息的完整性，不需要任何复杂的计算。实验结果表明了图像加密方案的有效性。
本文为了客观的描述加密图像与原始图像的差别，利用两图像的相关系数作为图像相似性的客观度量。
为了比较，本文对Lena图像分别利用本文方案和Arnold置乱方案网进行测试，实验结果如图2所示。结果表示，当密图中的某一像素发生微小变化时，利用本文方案解密得到的恢复图依然是个噪声图(与原始图像的相关系数：= 0.0005)，而Arnold方案却可以恢复出原始图像的许多信息（与原始图像的相关系数）=0.9999。
2、安全性分析
在进行安全性分析前，介绍本文所描述的一个定理，即Zm上n阶可逆矩阵的个数为：
其中M≥2为整数，M=P1r1，p2r2，psrs为M的既约因子分解ri≥1(i=1，2...，s)，p1，p2，…，Ps为互异的素数。
在本文加密方案中，由于模数M为256时，当n= 10时，N10(256)=9j=1(210，2j)2700，此时密钥空间足够大，足以抵抗大量攻击。
小知识之可逆矩阵
可逆矩阵是线性代数中的一个矩阵，其定义为在线性代数中，给定一个 n 阶方阵A，若存在一n 阶方阵B， 使得AB=BA=In（或AB=In、BA=In 任满足一个），其中In 为n 阶单位矩阵，则称A 是可逆的，且B 是A 的逆阵，记作 A^(-1)。
