admin 基于海量数据的安全问题，我们提出了一种基于小波变换的分数阶多图加密技术。该方案利用小波变换的多分辨率分解的特性，可以将图像上的能量尽量集中在低频的子带上。将多幅图像经小波变换后得到各自的低频图，然后重新组合成一幅图像，该图像将含有原来多幅图像的大部分能量，再对低频图进行分数傅里叶变换，变换的过程中通过两块随机相位板调制，得到加密图像，完成多图加密；利用加密的逆过程可以得到解密的多图。
一、分数阶多图加密算法介绍
1、基本加密算法
为了实现加密多图，将小波变换和分数傅里叶变换相结合，利用小波变换将能量集中于低频部分。在保证图像质量损失较小的基础上缩小图像尺寸，然后利用分数傅里叶变换实现多图加密。具体算法如下：
1)对多幅图像Ai（O<i≤n）依次进行小波变换，得到图像Ai相应的低频部分图Bi。
2)将Bi由下式组成新的图像A(u，v)：
式中S1，S2，…，Sn为A(u，v)上的区域。
3)在A(u，v)的Bi(0<i≤n)上叠加与之相应大小的随机相位伫(0<i≤n)，得到相应的Ci（O<i≤n），最终得到所有Ci组成的Ap：
4)Ap中的Ci进行分数阶次为P的傅里叶变换，然后再叠加上相应大小的随机相位θi（O<i≤n），在分数平面得到相应的Di和Am：
式中FP表示进行阶次为P的分数傅里叶变换。
5)Am中的Di进行分数阶次为Q的傅里叶变换，输出平面得到Ai对应的加密图Oi和总的加密图Ao：
式中P表示进行阶次为Q的分数傅里叶变换，每幅图像Ai相应的密钥为ψi、θi、P、Qo以上过程如图1(a)所示。
解密是加密的逆过程，通过相应的逆分数阶次傅里叶变换和相应的逆小波变换，给以正确的密钥，加密图Ao会得到相应的解密图Ai，此过程如图1(b)所示。
2、光学实现
为了验证该方案的实用性，提出一种光电混合装置实现算法，如图2所示。其中MRMF为多干涉匹配滤波器，SLM1和SLM2为空间光调制器，RPM1和RPM2为随机相位板。
图2上半部分是小波变换的实现装置，由4f系统和小波滤波器组成。空间光调制器SLM，不断输入原图像，小波滤波器置于频域面上，利用干涉得到复振幅；小波变换完成后得到一系列低频图，CCD采集之后输入计算机，通过计算机将这些低频图像重新组合得到新图像，然后将新图像重新输入到系统中（该过程可用已编写的程序进行实时处理）；图2下半部分是分数变换的实现装置，用随机相位板RPM1和RPM2来调制，干涉得到最终加密图。
关于小波变换的光学实现，由(3)式可知，二维信号的小波变换表示为其频谱F(u，v)与小波频谱ψ*(a1u，a2v)的乘积，表明小波变换的频率域实现与带通滤波器的操作相似。在傅里叶频谱面放置一系列位置和宽度不同的带通滤波器，就可以在输出面上得到对应不同扩展因子的小波变换系数。由于光学相关的位移不变性，制作WT滤波器时可以不考虑相位因子。
不同的小波变换只能通过依次输入不同的匹配滤波函数来实现，速度很慢，发挥不了光学系统并行处理的优越性。针对该问题，Mendlovic等提出利用Dammann光栅进行多通道相关处理，每一个通道实现一个尺度的小波变换文献，可以根据不同的需要完成不同尺度的小波变换。
三、数值模拟
为了验证该算法的可行性，应用Matlab对四幅图像[如图3(a)～(d)所示，四幅图像的大小都为512 pixel×512 pixel]进行了数值模拟。模拟中，应用离散小波变换和离散分数傅里叶变换来具体实现该算法。
算法中小波变换将能量尽量集中于低频部分(B1，B2，B3，B4，大小为256 pixel×256 pixel，如图4(a)～(d)所示。
采用Haar小波变换对四幅原始图像进行小波变换，图5(a)为图3(a)小波变换后的图像。经过n=1级小波变换后将低频部分重新组合得到A（u，v），如图5(b)所示。
B1～B4分别叠加相应大小的随机相位ψ1—ψ4，然后分别对各通道进行为分数阶次为Px=1.3，Py=1.1的分数傅里叶变换，得到相应的FPi(Ci)和其组成的图像。再叠加相应大小的随机相位θ1～θ4进行分数阶次为Qx=1.5，Qy=0.9的分数傅里叶变换，得到相应的加密图Qi和总的加密图Ao，如图5(c)所示。加密过程中得到每幅图像Ai相应的密钥为ψi、θi、P、Q。
解密过程是加密的逆过程，应用正确的密钥后，解密图像如图6(a)～(d)所示。观察可发现，如果密钥正确，能够得到比较清晰的图像。
为了衡量原始图像在加解密前后的质量变化，引入输入图像和解密图像的均方差(MSE)来定量分析。
MSE的数学定义式为：
式中I(i，j)和K(i，j)分别代表像素点（i，j）的原图像和解密图像的灰度值。
当密钥正确时，四幅图像的MSE分别为：EMS1=8.028，EMS2=13.67，EMS3=17.57，EMS4=5.356。可见该算法解密效果比较好，图像丢失信息比较少，能基本恢复原图像。
为了验证该系统的安全性，讨论随机相位和分数傅里叶变换阶次对图像的影响。
分数阶次是加密过程中最重要的密钥之一，当其他密钥正确，分数阶次Px、Py不匹配时，得到的解密图像如图7所示。容易发现，若解密时分数阶次与加密时不匹配，图像很模糊。进一步分析，计算其他密钥都正确时，不同分数阶次对应的解密图像的MSE值，如图8所示。从该图看出，算法中分数阶次作为密钥极为敏感，能够很好地进行图像加密，证明算法是可靠和有效的。
由随机相位、小波函数类型与缩放因子和分数阶次组成的密钥空间很大，只有当所有的密钥都正确时，图像才能被正确解密。没有正确密钥的未经授权方将无法获取原始图像的信息，因此图像能够得到很好的保护。并且当需要单独解密一幅图像时，可以进行单独解密，图像之间不会互相影响，从而可更好地实现算法的灵活性。
三、基于小波变换的分数阶加密算法分析
该加密算法相比于其他加密算法，最显著的改进就是利用小波变换实现了多图加密，改善了系统容量不足的问题，而且通过每幅图的独立密钥，加强了系统的安全性和灵活性。多图加密的核心就是应用算法改进系统容量，实现系统容量和解密图像质量的协调。比较常用的方案一般有角度复用、相位复用、位置复用、波长复用等，但究其过程都是将信息多次储存在一幅图像中，肯定会造成信息的串扰，导致解密效果差或是系统容量小。一般来说，对于各种多图加密方案，在保证较好的解密效果的基础上，系统容量为5～6幅，最多不超过10幅。而本文的算法，在二阶小波变换时，可加密16幅图像，小波分解后的图像和解密效果分别如图9(a)和10(a)所示，系统容量大大增加。
对该算法的效果具体分析如下：
1、图像小波变换后的效果
小波变换后，图像的能量与原始图像的总能量相同，但更为集中，即将整幅图像的能量集中在低频部分，使图像有利于压缩。由此定义一个评价参数，低频能量与总能量之比(ER)：
式中ELL为小波变换后图像低频部分能量，EG为小波变换后图像总能量。能量的计算式为：
式中z(i，j)代表图像像素点(i，J)的灰度值。
图像Ai经小波变换分解后得到低频部分Bi，以图3(a)～(d)为例，分别进行n=1级的Haar小波变换，与原图Ai～A4相应低频部分Bi～B4占据原图的能量分别为99. 636%、98. 885%、98. 329%和99. 861%。可知低频部分集中了原图的大部分能量，可以将低频部分重新组合成新的图像，从而完成多图的加密，这也是本文思路的来源。
进一步分析对图像进行高阶小波变换时的能量分布情况。以Lena图像[图3(a)]为例，分别对其进行n=2，n=3，n=4级Haar小波变换，分解得到的低频图像依次为图9(a)～(c)，与原图相比，得到的相应低频部分占据的原图的能量分别为98.43%、97.54%、96.17%。由此可见，小波变换的级次越高，低频部分占据的像素数越来越少，占据的能量越来越少，但对于各级次的变换，低频部分能量都占据了绝大部分。
当增加待加密原图的数量时，同样意味着增大小波变换的级次，得到的低频部分占据的像素数越来越少，占据的能量也越来越少。当分别对原图Lena进行阶次为n=2，n=3，n=4级Haar小波变换时，得到的解密图如图10所示。可见随着加密图像的增加，小波变换的级次增大，而解密图像的质量越来越差，不过当n=4时，解密图像依然大体清晰。
2、变换小波类型对加密效果的影响
小波变换后，图像的能量与原始图像的总能量相同，小波类型的不同会对图像压缩产生不同的影响。变换后图像能量越集中于低频部分，越有利于图像压缩，小波基越好。
依然以Lena图像为例，选取4种不同类型的Haar小波进行处理，得到各级次不同类型小波变换的ER值如表1所示。
由表1可以看出，各小波将能量集中于低频部分时效果都比较好，在进行n=4级的小波变换后，低频部分依然占据了大部分能量。在算法应用中，可根据小波的正交性、紧支撑性、对称性等选择小波函数。因此将小波应用于多图像的加密是一个很好的选择，可以有效地解决多图加密由于叠加操作引起的容量不足的问题。
3、独立密钥的性能
由于小波变换将图像低频部分重新组合，每幅图像都有自己单独的密钥ψi、θi，因此每幅图像的加密都是相对独立的。
该方案在应用中有以下特点：
1)将所有待加密图像视为一个加密的整体时，相对于其他的多图像加密方案，该方案密钥更多，安全性更高。利用该方案可以实现对于该图像的多用户认证，没有所有用户的密钥认证，无法得到原图像。
2)将不同的待加密图当作个体时，由于各自的独立性，加密完成后，每幅图像都有自己相应的密钥。解密时可以不相互影响，因而增加了该方案的应用性和灵活性，可以很方便地实现多用户独立解密。并且由于应用小波变换，可以最大程度地恢复原图。
3)为了增加该方案的安全性，可对算法中分数变换部分进行多次级联，这样不仅能通过增加密钥来增强方案的安全性，同时也进一步增加了方案的灵活性。
小知识之分数傅里叶变换
在数学文献中，分数傅里叶变换(fractional Fourier transform,FRFT)指的就是傅里叶变换的广义化。近几年来，分数傅里叶变换除了在信号处理领域有相当广泛的应用，其也在数学上被单独地研究，而定义出如分数回旋积分(fractional convolution)、分数相关(fractional correlation)……等许多相关的数学运算。
分数傅里叶变换的物理意义即做傅里叶变换 a 次，其中 a 不一定要为整数；而做了分数傅里叶变换之后，信号或输入函数便会出现在介于时域与频域之间的分数域(fractional domain)，。
若再更进一步地广义化分数傅里叶变换，则可推广至线性标准变换(linear canonical transform,LCT)。
