admin 为了保护图像信息的安全，我们结合组合理论知识，提出一种新的基于可逆整数矩阵的、具有完整性检验能力的图像文件加密方案。该方案可以应用于数字图像隐藏的预处理，以提高信息的隐蔽性。此外，本文方案可以简单地扩展到彩色图上的应用，实现彩色图的加密，具有良好的扩展性和应用性。
一、关于模M的可逆整数矩阵
基于组合理论的性质，利用一个整数导出了可逆整数矩阵和其逆矩阵的表达式。设给定整数x≥0，由关系式：
为元素可以定义一个n阶方阵系式：
它的元素都足整数，称之为整数矩阵。以关系式：
为元素可以构造一个与A(x)互逆的n阶整数矩阵：
其中规定：C0-1=，且当，l<m或m<0时Cnm=0。
由相关资料证明可知，所构造的矩阵A(x)和B(x)互逆，且矩阵均由x决定。在图像文库加密过程中，x可以作为加密和解密的密钥。
但是由于计算组合数的缘故，导出生成的可逆矩阵元素值可能非常大，以致超过256灰度级的范围。为了解决这个问题，将以上得到的可逆矩阵的所有元素模M。显而易见，模M后的矩阵同样是模可逆的，即：
其中A’和B'分别是A和B模M后的矩阵。由于图像的灰度级为256，为了使得加密后的密图仍为256的灰度级别，本文中令M为256。
二、基于可逆整数矩阵的图像加密方案
一幅灰度图G可以视为一个元素值为[O，255]的整数矩阵口本方案首先给出密钥x、M= 256、以及密钥矩阵的大小blocksize，然后根据第1节描述的算法，产生一对模256的可逆矩阵A和B，其值的范围为[O，255]。在加密方案中，矩阵B用来作为加密的密钥，而A用来作为解密的密钥。A和B均可由x导出生成，在加密解密过程中，仅需要把x作为密钥保存即可。
加密前对秘密图像进行预处理，即将原始图像的像素加128，目的是为了处理全黑的特殊情况。解密恢复时，把得到的结果相应的减去128。假定，经过预处理之后的灰度图像为：
其中gij为图像坐标(i，j)处的灰度值。
1、加密过程
加密过程分为两个过程，具体描述如下：
Phase l 将密钥矩阵B从图像G的左上角，以1/4×blocksize的步骤，从左到右，从上到下覆盖地扫描到右下角，得到G'。移动过程中，密钥矩阵B和扫描经过的图像块block的作用方式：
Phase 2 将密钥矩阵B从G'的右下角，以1/4×blocksize的步骤，从右到左，从下到上覆盖地扫描到左上角，得到G''。移动过程中，密钥矩阵B和扫描经过的图像块block的作用方式：
加密过程中的扫描方式，决定了块的变化将对其他块的恢复产生影响。而扫描过程中，加密矩阵和矩阵块的作用方式，决定了块内点的变化将对块内其他点的恢复产生影响，这就增加了像素点之间的相关性。这样，加密图像出现微小变化，将影响到恢复图像的全局变化。因此，该图像的加密方案是脆弱的。该性质可以用作图像信息的完整性检验。
2、解密过程
解密密钥A同样可由X生成导出，且A和B是模256的可逆矩阵。解密过程是加密的简单逆过程，也分为两个阶段，具体流程如下：
Phase l 将密钥矩阵A从G''，的左上角，以114×blocksize的步骤，从左到右，从上到下覆盖地扫描到右下角，得到G'。而移动过程，密钥矩阵A和扫描经过的矩阵块block的作用方式：
Phase 2 将密钥矩阵A从G'的右下角，以114×blocksize的步骤，从右到左，从下到上覆盖的扫描到左上角，得到图像G。而移动过程中，密钥矩阵A和扫描经过的矩阵块block的作用方式：
最后，将图像G的像素按照预处理的逆过程减去128。便可得到原始的秘密图像。
三、实验结果及分析
1、实验结果
在实验中，令密钥x=1，blocksize= 32，M= 256。根据第1节描述的算法，产生一对模256的可逆按数矩阵A和B。作为密钥矩阵。选择复杂图像Fishingboat，Lena，Clock，Baboon和简单黑白图像S作为测试图像，所有测试图像大小均为256x256。系统环境Windows7，安装内存2G，CPU 2.90GHZ，实验测试环境matlab7.9。实验结果如图1所示。
图1的实验结果表明，不管足复杂的自然图像，还是轮廓明显的简单黑白图像，加密后的密图是一个均匀的噪声图。而且，当密图中的某一个像素发生微小变化时，解密得到的图像仍然是噪声图，得不到原始图像的任何信息，所以该加密方案是脆弱、易损的。通过人眼视觉可以判断该秘密图像是否被篡改，从而检验密图信息的完整性，不需要任何复杂的计算。实验结果表明了图像加密方案的有效性。
本文为了客观的描述加密图像与原始图像的差别，利用两图像的相关系数作为图像相似性的客观度量。
为了比较，本文对Lena图像分别利用本文方案和Arnold置乱方案进行测试，实验结果如图2所示。结果表示，当密图中的某一像素发生微小变化时，利用本文方案解密得到的恢复图依然是个噪声图(与原始图像的相关系数ρ=0.0005)，而Arnold方案却可以恢复出原始图像的许多信息(与原始图像的相关系数ρ=0.9999)。
2、安全性分析
在进行安全性分析前，描述的一个定理，即ZM上N阶可逆矩阵的个数为：
其中M≥2为整数，M=p1r1p2r2...psrs，p为M的既约因子分解ri≥1( i=1，2--，s)，p1，p2，…，Ps为互异的素数。
在本文加密方案中，由于模数M为256时，当n=10时：
此时密钥空间足够大，足以抵抗大量攻击。
小知识之矩阵矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考矩阵理论。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。
