Standard映射及其三维扩展在多媒体加密中的应用

混沌由于其对初值敏感性、对参数敏感性、遍历性和类随机性等的特点，很适合于信息加密。T．Habutsu等使用斜帐篷映射构造了分块加密密码，M．Tsueike等使用修改的二维Baker映射构造了分块加密密码。但这些方法中因为用到较频繁的浮点运算，对计算机的计算精度要求高，同时也降低了计算速度。为此，一些离散化方法得到了研究，对斜帐篷映射离散化，构造了新的密码，F．Picller和J．Scharinger通过离散化二维Baker映射，建立了基于混沌置乱的密码，F．Picmer将其扩展到了任意尺寸的二维格形。

二维混沌映射因其与图像位置维数相适应，广泛用于图像置乱和图像加密，J．FridrichE81研究了二维Baker映射和Cat映射用于加密的方法，并分析了这2种映射的密钥空间和密钥可靠性，但其中的三维扩展只针对灰度，不适合用于三维空间中的位置置乱，如视频流、多频段图列等。Standard映射是一种非线性混沌映射，从密码学的观点来看，此映射可以提供更大的密钥空间，正是基于这点，本文构造了基于Standard映射的加密方案，将二维Standard映射扩展到三维，用于多媒体加密，并分析了它的密钥敏感性，给出扩散函数和循环次数的选择等。

一、Standard映射的离散化及其三维扩展

Standard映射：

J．FridrichE81以2Jr7N为单位，将其从区域[O，2n）×[O，2π)离散化到区域N×N，其中N为正整数。即得到：

式中，K>O且K∈Z．Fridrich将图像灰度作为第三维，实现了三维扩展，这并不能实现三维空间中的位置置乱，为此，我们做了新的扩展，我们分别沿着i，j，t这三个方向做一次Standard映射后，将Standard映射扩展到了三维，因为这种三维映射是以二维映射为基础的，因此延续了映射的混沌特性。

式中，Ki，K2，K3>O且Ki，K2，K3∈Z。

可见，这种三维映射与二维映射相比，有更大的参数空间，用于加密，能够获得更大的密钥空间，我们将图像灰度值排列成立方体，用这种三维映射对图像加密，获得了更快的置乱速度。另外，这种三维映射可以用于视频数据、图像序列等三维数据的置乱和加密。

二、多媒体数据加密方案

这里将Standard映射与扩散机构相结合，构造了如图1，所示的数据加密方法，即将混沌映射与扩散函数相结合，利用混沌映射实现置乱功能，利用扩散函数实现扩散功能，系统密钥由离散混沌映射的参数、扩散函数的参数和加密循环次数构成。

三、混沌映射的参数敏感性

离散化后的二维Standard映射的参数空间为K>O且K∈Z，此空间已经很大，但并非所有的K都适合作密钥，这要与置乱的循环次数和明文分块大小结合考虑，使得密钥的敏感性最好，为此，我们测试了映射参数不同、置乱循环次数以及映射区域大小对参数敏感性的影响。

此处，定义参数敏感性的一个衡量指标Ps(K)。令原始图像为XO(设图像任何两点的灰度值都不相同)，图像为边长Ⅳ的正方形，设映射参数K=p(p为参数空间中的任一个参数，并且p>0，p∈Z)时，原始图像被映射为X1；映射参数K=p+l时，原始图像被映射为X2;映射参数K=p-1时，原始图像被映射为X3。则Ps(K)定义为：

 

式中：

X(i，j)为图像中（i，j）位置处的像素值。可以将映射参数敏感性理解为映射参数轻微变化时，引起的映射结果的变化，强度高的密码要求这个指标要大。

1、置乱循环次数对参数敏感性的影响

我们选择边长为256像素的正方形区域，映射参数在1到50 000间、置乱循环次数在1到6间变化，计算出敏感性指标变化曲线，如图2(a)所示，可见，对于相同的置乱循环次数乃，参数敏感性随着映射参数K的增大，缓慢增加；对于相同的映射参数K，参数敏感性随着置乱循环次数n的增加，迅速增大到100%，当n=6时，Ps(K)≈100%。因此，如果选择整个映射参数空间作为密钥空间，要保证置乱循环次数n超过3次，密码系统才更安全。

2、映射区域大小对参数敏感性的影响

测试在映射参数、置乱循环次数一定情况下，映射区域大小（正方形边长N）不同对参数敏感性的影响。我们选择边长分别为32，128，256的正方形区域，分别测试了它们在置乱循环次数为3时，映射参数在1到50 000间变化的参数敏感性曲线，如图2(b)所示，由图可见，映射区域较小时(图中为32 x 32)，参数敏感性相对较小，但仍然在85070以上，映射区域大小在128×128以上时，参数敏感性保持在95%左右，而且随着置乱循环次数的增加，参数敏感性也增加。因此，使用此种映射加密，在置乱循环次数大于3时，选择的明文块大于32×32，可以认为是安全的。为了保持更高的密码强度和系统安全性，可以选择更大的明文块，或更多的循环次数。

四、扩散函数

传统的高强度密码都由置乱和扩散过程组成，如DES，IDEA，AES等。引入扩散结构可以增加抗差分攻击和选择明文攻击的能力，从而增加密码强度，常用的扩散方法有2种。一种是图像中相邻4个点的灰度值的扩散，这样，随着置乱循环次数的增加，扩散范围成4的幂指数增加；另一种是按光栅扫描方式，用当前像素灰度值与前一个相邻的像素之间的扩散，这种扩散方式的扩散速度更快，我们按照上面的方式分别设计了一种扩散函数。

1、相邻四点之间的扩散

设相邻4点为x(i，j)，x（i，j+1），x（i+1，j）和x（i+1，j+1），扩散后的对应4个点为x'（i，j），x'（i，j+1），x'（i+1，j）和x'（i+1，j+1），则扩散方程为：

解密时的反扩散方程为：

2、相邻2点之间的连续扩散

这里使用相邻点之间的扩散，图像采用光栅扫描顺序，若Pi为扩散前的像素值，Ci为扩散后的像素值，三为像素灰度数，则扩散过程为：

CO由用户密钥中提供，解密时，反扩散过程为：

CO由用户密钥中提供。

我们测试了以上2种扩散方法的扩散速率，即明文中一个像素改变带来的密文变化率与置乱循环次数的关系。这里的密文变化率是指明文中改变一个像素后，引起的密文的像素改变个数的百分比，我们也称其为扩散率．实验结果表明，使用相邻4点间的扩散方法和相邻两点间连续扩散方法，在4次循环后扩散率均可达80%以上，这种扩散率，对选择明文攻击和差分攻击要求更高的工作量和复杂度，从而增加了攻击难度，提高了密码强度，增强了安全性。

五、置乱循环次数

对于将混沌映射与扩散过程相结合的加密系统，增加置乱循环次数具有以下优点：①循环映射次数越多，映射参数的敏感性就越高，扩散函数的扩散率也就越高，从而提高了密码系统的密钥敏感性；②增加置乱循环次数，不仅能够增加密钥敏感性，也能够使加密后的图像直方图更加均匀，从而提高了抗统计分析和已知密文攻击的能力；③每次置乱采用不同的映射参数和扩散的初始值，从而增加穷举攻击的难度，提高了密码强度。总之，置乱循环次数越高，密码的强度也相对越高；当然，循环次数的增加，也会带来运算量的增大，所以，置乱循环次数可以根据对安全性和快速性要求的不同而适当选择。

六、实验结果

1、图像序列加密

我们用以上算法加密尺寸为240×352的图像序列Bus，以64×64 x 64的图像块加密，原图像序列和加密后图像序列分别如图3所示（仅列出4幅），其中，(a)和(e)分别为第1幅图在加密前后的图像；(b)和(f)分别为第5幅图在加密前后的图像；(c)和(g)分别为第9幅图在加密前后的图像；(d)和(h)分别为第13幅图在加密前后的图像，可见，加密后图像内容完全不可理解。

2、时间测试

这里将本文提出的方案与DES算法做比较，测试它们加密速度的不同，运行的计算机是1.4 GHz CPU，256 MRAM，Microsoft Windows操作系统，采用相邻点间连续扩散时，Standard映射的循环次数为3次；采用相邻4点间扩散时，Standard映射的循环次数为6次，测试结果如表1所示，可见，基于二维、三维Standard映射的加密方法与DES相比，具有更快的加密解密速度，其中，采用相邻点间连续扩散方式时的加解密速度达到1.7 Mbit7s以上，更适合用于图像、视频等大数据量、实时性要求高的多媒体数据的加密。