admin 有限元法是目前科学研究和工程技术领域中应用最为广泛的数值计算方法，是许多工程设计的基础工具，随着有限元技术应用范围的不断扩大，不少问题也相继出现，其中最突出的两点是：(1)越来越多的并不熟悉有限元技术的人需要使用这门技术，网格如何划分，得出的结果精度怎样，能否作为工程设计的依据，这些问题常常困扰着他们。(2)当前有限元技术在工程设计中的作用已从分析和校核扩展到优化设计并和计算机辅助设计相结合。这就对有限元分析系统的自动化程度以及分析结果的精度提出了更高的要求。
要真正解决以上两个问题，就必须发展可靠、实用的自适应有限元分析系统。自适应有限元分析系统的基本框图如图1所示。
从图1可以看出，自适应有限元分析系统和传统有限元分析系统的主要区别在于增加了误差估计和网格优化两大模块。它是以误差估计为基础，以网格优化为手段来实施自适应分析，达到用户所需的精度。
当前，最为流行的网格优化方案有h-方案，p-方案，hp-方案，其中h-方案以其直观，效率高的特点而深受工程界的欢迎，本文主要讨论这种方案。自适应有限元h-方案的最基本思想就是通过事后误差估计，对计算结果误差较大的区域进行局部网格加密，而保持单元插值多项式阶次不变。因此，为了有效实施自适应有限元h-方案，就必须发展实用、高效的自适应有限元局部网格加密方案。作者在研究工作中体会到，基于树结构的478叉树网格生成方法非常适合自适应有限元分析，其主要原因是它具有丰富的数据结构，以及单一的、极易操作的、面向整个分析域的网格控制机理。本文就是在叉树法网格生成器基础上，来研究自适应网格加密方案的。由于四叉树直观，且易推广到八叉树问题中去，所以，本文的工作主要是基于四叉树法网格生成方法。
一、基于叉树法的网格生成器生成网格的主要步骤
叉树法网格生成的过程是完全面向几何特征的，它通过一系列几何操作，同时从几何模型数据库中取得分析物体的几何信息，以及网格控制参数信息等，来完成网格划分。概括起来说，该算法主要由以下两个步骤完成：
(1)首先找到一个能够完全包含分析域的正方形，然后利用四叉树性质…离散该正方形至所需大小。同时，把这些离散信息保留在一个四叉树数据结构中，通过这个树状数据结构，把离散的子正方形联系起来。
(2)从第一步产生的四叉树数据库中，取出满足终止条件的边界和内部子正方形来形成网格单元，并存储于网格数据库中。同时，使某些特殊点自动成为网格单元的节点，例如：结构的支撑点，集中载荷的作用点等。
上述两个步骤的图示过程如图2所示：
二、基于叉树法的自适应局部网格修正
1、局部网格修正的方法及步骤
自适应h-方案的最显著特点就是只在计算误差大的局部进行网格加密。因此，在自适应局部加密过程中，被修正单元的相邻网格的密度重新分布，相邻单元拓扑信息的修正以及新单元的插入和旧单元的删除都是同时进行的，由此，使得自适应局部加密更加复杂，实现起来更加困难。当前，有不少学者在做这方面的研究工作，他们对需要加密的单元主要采用二分最大边或四分该单元的办法。虽然有很多常用的局部加密方法，但它们却存在不少缺点，主要表现在：
(1)如果原始单元的形状不好，则加密后的单元形状极有可能更为不好。
(2)这类局部单元加密方法是基于原始单元的，而不是基于原始几何模型的。因此，如果被加密的单元是边界单元，不利于边界重组，也就是说，利用这类方法加密边界单元后，并不能更加逼近原始几何。
(3)加密程度十分有限，而且不够灵活。
基于叉树法的网格生成器在生成网格过程中，网格数据是完全由离散后的满足终止条件的四分正方形象限所产生，而这些四分正方形象限是以树的结构形式存储的。我们知道，树的空间寻址性好，正方形具有强的规整性，因此，在自适应局部网格加密过程中，如果把局部单元的加密，相邻网格的修正，网格单元的邻居信息的建立与修改等操作完全转换到操作产生这些单元的相应正方形象限，这将是十分有利的。
根据上面的分析讨论，本文针对自适应局部网格加密技术的特殊要求以及叉树法网格生成技术的特点，提出了基于叉树法的自适应局部网格加密方法，主要步骤如下：
(1)通过事后误差估计护，8，引，确定哪些单元计算误差较大，然后在网格数据库中找到这些需要修正的单元。
(2)通过“产生该单元的正方形指针”信息在存储离散正方形的树数据库中找到相应正方形。然后修正该正方形及与它相邻的需要修正的正方形至所需程度。
(3)根据局部修正后的正方形，产生新的单元。给已修正的树数据库中的正方形附一无效标志。
这种自适应网格修正步骤对于局部网格修正是十分方便的。如果被加密的单元是边界单元，利用上述加密方案，极利于边界重组，因为这种加密方案是基于产生加密单元的正方形，而在这些正方形属性中是存有原始几何边界信息的（如果是边界四分正方形象限），因此，可以说，上述局部网格修正步骤是面向原始几何模型的，这比常用的局部网格修正方法更先进。为了能具体认识这一点，可见图3所示。
本文所提出的局部网格加密步骤能否有效实施，主要依赖于网格数据结构、树数据结构以及自适应局部网格加密算法，下面将较详细讨论它们。
2、支持局部网格修正的网格，树数据结构
网格数据库中所存储的信息是整个有限元计算过程中最重要的信息，是用于有限元分析计算的。因此，网格数据结构最一般形式就是存储单元节点，单元类型、单元属性等，图4就是大家所熟悉的传统有限元网格数据结构。然而，基于图4的网格数据结构是很难支持自适应有限元分析过程的。为了有效实施上一节所提出的自适应局部网格加密过程，我们采用两个相匹配的数据结构，即网格数据结构和树数据结构，网格数据库中的单元、节点信息完全由树数据库中的数据产生，同时，在网格数据结构中增加一条“产生该单元的正方形指针”信息项，以该信息项为纽带，把对单元的操作全部转换到对“产生该单元的正方形”进行操作，把直接对网格数据库的操作转换到对树数据库的操作，从而间接控制和修正网格数据库。树数据结构的鲜明层次性，空间可寻址性，以及模型和满足终止条件的节点之间相互联系的丰富指针，使得对于树数据库的任何操作都变得十分容易实现。这对于提高自适应局部网格加密的效率及程序实现难度的简化是极为有利的。
在自适应局部网格加密过程中，被加密的局部单元的相邻网格拓扑关系的建立与修正是十分频繁的，因此，网格单元邻居信息的快：速、有效地获得就得十分重要。前面已经说过，本文的自适应局部网格加密都是基于树数据库的，因而，可以把对网格单元的邻居操作转换到对产生该单元的正方形的邻居进行操作，由于正方形的规整性极强，因此，在树数据库基础上的邻居拓扑关系的建立与修正就变得比较容易。下面就是基于树数据库的邻居拓扑信息建立图示，见图5。
图5所示的邻居信息存储方法是基于这样一条规则：为了保持单元之间疏密过渡不至于过分悬殊，相邻正方形级数之差不能大于1。因此，对于一个特定正方形的一条边，最多只有两个不同的邻居。
根据上面分析讨论，在自适应局部网格加密过程中，树数据库不断写入信息，网格数据库完全由树数据库产生，在自适应分析过程中，两者是动态的。它们之间的相互匹配关系可以如图6所示，图6为离散的正方形及相应的三角形网格，图7为图6的网格数据结构和树数据结构的相互匹配关系。
3、实施局部网格加密的程序算法
本文所采用的自适应局部网格加密步骤已在前面讨论，它是把对网格单元的操作转换为对产生该单元的正方形进行操作，这种转换是极为有利的。那么，如何具体实施对四分正方形象限局部加密，如何对受影响的相邻正方形进行修正，下面以图8为例讲述叉树法网格生成器的局部网格加密算法思路。
图8(b)可以看成图8(a)中h单元再加密一级所得b由于图8(b)中的k、m单元和b单元级数之差大于1，所以，这种网格过渡不能接受。因此，为了加密某个单元，首先必须检查它邻居的级数。根据这个原则，为了加密图8(a)中的单元h，就必须首先检查它的邻居f、g、b级数，从而可知应先加密b单元，才能加密h单元，得图8(c)所示网格，这种网格过渡是可以接受的。
根据这个思路，本文研制了一种局部网格加密算法。图9就是此算法的伪码。
利用上述算法，需要加密的单元就可以加密到所需程度。凡是已被加密的树数据库中的正方形单元，它的有效性标志为N ull，以示该单元不存在。在加密过程中，新产生的正方形单元，加密时受影响的周边正方形单元的邻居拓扑信息应做相应改变，以便给下次加密时提供正确的邻居信息。对于有效性标志为N ull的正方形不做任何操作。
三、局部加密网格例子
利用叉树法网格生成器，本文所提出的局部网格加密步骤，以及图7的网格结构和树数据结构的相互匹配关系和图9的局部网格加密算法，可以事前和事后生成任意密度分布的网格，这对于实施自适应h-方案是十分有利的。
局部加密网格例子如下：
小知识之有限元法
有限元法（FEM，Finite Element Method）是一种为求得偏微分方程边值问题近似解的数值技术。它通过变分方法，使得误差函数达到最小值并产生稳定解。类比于连接多段微小直线逼近圆的思想，有限元法包含了一切可能的方法，这些方法将许多被称为有限元的小区域上的简单方程联系起来，并用其去估计更大区域上的复杂方程。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。
