admin 随着整数阶混沌理论与应用的发展，对分数阶混沌系统的研究开始逐渐引起广大学者的关注，并且在整数阶混沌理论以及分数阶微积分理论的基础上提出了众多的分数维混沌系统模型，为进一步的应用研究奠定了基础。
本文以一种分数阶统一混沌系统为基础，利用此混沌系统产生的混沌序列分别进行了图像像素位置置乱和像素值替代的加密的工作，并进行了多方面的算法安全性分析，比如密钥空间分析、密钥敏感性分析、统计分析和抗干扰与抗攻击分析，研究结果表明本文算法具有良好的加密效果。此外本文采用的分数阶统一混沌系统属于高维混沌系统，并且相比于一般的整数阶混沌系统更加复杂，随机性更好，可以为图像加密提供更大的密钥空间。
一、分数阶统一混沌系统
分数阶微积分是研究任意阶微分和积分的理论，是普通的整数阶微分和积分向非整数阶的推广。在分数阶微积分理论中有关分数阶微分有几种不同的定义，其中Caputo定义方式在实际应用中的使用的比较广泛，这是因为Caputo定义方式适用于时域分析，并且其定义的初始条件与整数阶微分类似，所以在物理意义以及实际分析中有着更广泛地应用。 Caputo微分定义如下：
其中n为不小于α的第一个整数，Jθ为θ阶Riemann-Liouville操作数，定义如下：
其中τ(o)为τ函数，0<θ≤1。
有专家提出了一种统一的混沌系统，由于这种混沌模型集合了三种典型的混沌系统，因此也称为Lorenz-chen-/Lu(LCL)系统。
其中δ∈[O，1]，当δ∈[0，0.8)时，系统(3)表现为Lorenz混沌系统；当δ=0.8时，系统(3)表现为Lu混沌系统；当δ∈(0.8，1]，系统(3)表现为Chen混沌系统。
近来，又有专家根据系统(3)提出了相对应的分数阶统一混沌系统同，如下：
经过仿真实验得出仅当δ∈[O，1]，α∈(0.9，1]时系统(4)有混沌吸引子出现，并且通过计算α=0.98，α=0.92时的最大李雅普诺夫指数分别为0.532和0.347，从而进一步说明了系统(4)可以产生混沌现象。
对于上述系统(4)的分数阶微分方程组，Diethelm等提出了一种有效的分析方法称为预测校验法(predictor-corrector scheme)，该方法是对经典Adams-BashforCh-Moulton方法的一种归纳与扩展，本文的数值仿真就是依此方法进行的。图1、图2、图3为系统(4)参数α取值为0.985，万取值分别为δ=0.3，δ=0.8，δ=0.9时的仿真图像。
二、图像加密算法
图像文件加密分为空间域加密与频域加密，而空间域加密一般有三种方法：一种是像素位置置乱法，在保持像素灰度值不变的基础上改变像素的位置，即用图像置乱的方法来达到图像加密的目的；另一种是像素值替代法，在保持像素位置不变的基础上改变像素的灰度值；第三种是空间域复合法，即把前两种方法结合，用既改变像素的位置又改变像素的灰度值的方法来达到加密的目的。
本文采用分数阶统一混沌系统产生用于图像文件加密的混沌序列，并使用此混沌序列对图像的像素值和像素位置均进行了加密，由于希望加密所用的混沌序列能够对明文的变化具有敏感性，因此将明文属性叠加到混沌映射的初值和参数中。
加密算法的步骤：
步骤1：设原图像为大小mxn的灰度图像I，在位置(i，j)处的图像像素值为I(i，j)，其中i∈[1，m]，j∈[1，n]。取I中所有像素值的平均值，对它做一定的处理后，分别与分数阶混沌系统的初值和参数叠加，将叠加之后的初值x0，y0，z0和参数α，δ作为图像加密的密钥，并采用分数阶统一混沌系统(4)产生图像加密中所需要的混沌序列Ckl和Ck2。
由于混沌序列是根据混沌系统的初值和参数产生的一系列伪随机数，所以在混沌序列作用于图像之前必须做一些处理。首先，对Ckl按照式(5)处理，得到dkl∈[O，255]。
其中，floor(x)表示取不大于×的最大整数，mod(x，y)表示运算x除以y后取余。然后，把序列dkl变形为大小为m×n的矩阵Dkl，用于图像像素值替代加密。
步骤2：由混沌序列Ck2生成等同于原图像大小m×n的置乱矩阵Q，并按照置乱矩阵Q对原图像矩阵l进行像素位置置乱。
置乱矩阵的形成方法是首先将混沌序列Ck2进行大小排序，对于大小相等的混沌序列值，则按取值的先后顺序决定其大小顺序，然后以它们在序列中的排序位次代替它们自身数值，从而实现混沌序列变化至互不相同的整数值序列，在此基础上进一步由序列生成矩阵即为置乱矩阵。
步骤3：将矩阵Dkl与原图像矩阵I进行对应位置元素一对一异或运算，得到图像像素值替代加密后的加密图像矩阵R。
其中i∈[1，m]，j∈[1，n]，xor表示异或运算。
解密算法的步骤：根据密钥，把加密过程逆向运算即可获得解密图像。
三、实验结果与分析
(1)密钥空间分析
本文加密算法取分数阶统一混沌系统的初始值x0，y0，z0，以及参数α，δ做为图像加密的密钥，那么按照计算机双精度来计算，密钥空间可以达到1096，这使得本加密算法足以抵抗穷举搜索攻击。
(2)密钥敏感性分析
加密密钥敏感性分析结果如图4所示，其中(a)为原图像，(b)为加密密钥x0取值为8.43的加密图像，(C)为解密密钥x0取值为8.4300000000000001的解密图像，(d)为解密密钥x0取值为8.43的解密图像，从仿真结果中比较可知，本算法对密钥具有极强的敏感性。
(3)统计分析
抗统计分析攻击能力的好坏是评判图像加密算法优劣的重要标准。图5(a)为原始图像的直方图，图5(b)为加密后图像的直方图。从图5中可以看出，原始图像的像素值在某些点出现的频率很高，而加密后图像的直方图呈现类随机均匀分布，很好地掩盖了原始图像的像素值分布规律，增加了破译的难度。
图6所示为垂直方向原始图像和加密后图像相邻像素的相关关系。
可见，原始图像像素间的相关性呈现明显的线性结构关系，而加密图像像素间的相关性呈现随机的对应关系。表1所示为原图像和其加密图像相邻像素之间的相关系数。可见，原图像的相邻像素高度相关，而加密图像的相邻像素相关系数接近于零，其相邻像素已基本不相关。
(4)图像抗干扰与抗攻击分析
图像在传输或进行其他处理的过程中，经常会受到噪声的干扰和一系列的攻击，所以抗干扰与攻击能力的强弱也是检验加解密算法优劣的一个标准。本文对加密后的图像添加噪声密度为0.05的椒盐噪声(见图7(b))、添加均值为0方差为0.01的高斯噪声(见图7(e))和剪切部分数据(见图7(h))，解密之后分别得到图7(c)(f)(i)。可见，此加密算法对椒盐噪声干扰和剪切攻击有较好的抵抗能力，对于高斯噪声具有一定的抗干扰能力。此外本文加密算法中加密密钥是基于所需加密图像的信息叠加产生的，所以使得应用于加密的混沌序列对所需加密的图像具有非常高的敏
感性，可以有效抵抗已知明文攻击。
小知识之空间域
又称图像空间(image space)。由图像像元组成的空间。在图像空间中以长度(距离)为自变量直接对像元值进行处理称为空间域处理。
