admin 由于随机噪声有最大的熵，而且再生一个相同的随机噪声是非常困难的，因而随机噪声用于图像加密时，具有很高的保密性。提出了一种将随机相位加密和相位恢复算法中的求解附加相位分布分二步实施的加密方法，由于该方法的实质是通过在随机谱和相息图之间进行相位恢复迭代以确定相息图和密钥的相位分布，因而能够减小图像的解密误差。在相息图相位离散化的迭代过程中，采用增大设计冗余度的方法，降低了由相位离散化所带来的解密误差。
一、随机相位的加密方法
本文提出的二步随机相位加密方法与以往常见的方法不同，加密后的图像是一个仅相位分布的相息图，此加密过程的框图如图1所示。
图中f(x)表示待加密图像的复振幅分布，x表示二维的像空间坐标，p（x）代表一个在[O，1]之间均匀分布的二维随机阵列，全部加密过程分为以下两步：
1)把f(x)乘以一个随机相位函数exp[i2π×p(x)]，然后再将这个乘积f(x)exp[i2πp(x)]作傅氏变换，得到一个随机谱F(u)。
2)将F(u)再乘以一个特定的随机相位函数H(u)=exp[iφ(u)]，以使F(u)H(u)经过逆傅氏变换，能得到一个仅相位分布的加密相息图g(x)，即要求：
其中c为任意常数，上述加密过程在空域中的表示为：
其中g(x)的相位分布φ(x)及附加的相位分布φ(u)可以通过迭代的相位恢复算法如IFTA迭代求出。这样，φ(u)一经确定，便可作为从相息图g(x)本身来恢复f(x)的密钥，由于p(x)是随机噪声，因而通过相位恢复算法求出的密钥φ(u)也是随机的，只不过这一随机相位的分布会与p(x)和图像f(x)紧密相关。所以，用φ(u)作为密钥，有很高的安全性。
在利用迭代傅里叶算法计算相息图的相位分布以及密钥φ(u)的过程中，每次迭代过程结束时，即用本次迭代得到的密钥φ'(u)将图像解密，并采用归一化的价值函数MSE作为信噪比的描述，来判断迭代是否收敛。其定义为：
其中I0(x)=|f(x)|2表示被加密图像的强度分布，Ir(x)表示解密的图像的强度分布，系数α是一个缩放因子，其定义为：
当MSE低于某一设定值时，即可作为迭代过程结束的条件。
图2对比了用本文的加密方法和应用Wang的加密方法进行图像加密时解密图像的MSE随迭代次数变化的曲线，从中可以看出，解密图像的误差本文方法明显低于Wang方法。对于灰度分布图像，应用本文的方法的第250次迭代的解密图像的MSE比用Wang的方法下降了5.9dB；而对于二元图像，则下降得更多，约30dB，这是因为二元图像中O值像素所占的比例一般要大于灰度图像中0值元素所得的图像要比应用于灰度图像时对图像的改善明显得多。
二、相息图及密钥相位的离散化
出于对实际应用中的技术性考虑，一般须将相息图g(x)的相位及密钥φ(u)离散化。因而在前面所涉及的相位恢复迭代过程就应修正为寻找同时满足(1)式和(2)式的离散化的相位对的过程。
一般而言，对一个模拟的相位分布直接进行离散化，会引入很大的误差，因而可以采用迭代的方式进行，即在相位恢复迭代过程中，对每一次迭代的结果都要进行离散化，并利用这个离散化的相位进行下一次迭代。
由于目前尚未从数学上证明相位恢复问题解的存在性和惟一性，而相位离散化条件又给相位恢复问题增加了一个额外的限制，因而其迭代的结果必然会使解密图像存在很大的散斑噪声。为解决上述问题，本文通过增大相息图的面积，即增加设计冗余度的方法来降低相息图的离散化误差，即在谱面上F(u)周围增加了一部分无信号区，在迭代过程中，在无信号区内可以保留一定的振幅，而且这部分区域内的相位也可以不必离散化，因而可以利用这部分区域复振幅的自由度来防止迭代过程的停滞。由于该无信号区仅用于迭代过程而不参与迭代后的解密过程，因而在不影响实质应用效果的前提下，保证了由F(u)区内的谱值所决定的再现像有较小的误差。
三、模拟实验及其结果
本文用计算机对应用上述加密方法进行图像加密／解密的结果进行模拟，在应用相位恢复算法的过程中，采用分步离散化的方式，采用240步逐步确定离散化的相位分布，以避免迭代离散化的停滞，从前面的分析可知，离散化的阶数越高，离散化误差越小．由于离散化的阶数应在技术允许的条件下选取，因此把相息图的相位分布取16阶离散化量值，而作为解密密钥的相位φ(u)，则取与售品空间光调制器对应的64阶离散化量值。图3(a)是像素数为128×128的待加密图像，图3(b)至(d)分别给出不引入无信号区，引入无信号区使总面积为原图面积的4倍及16倍时的最终再现图像。从中可以看出，增加的无信号区面积越大，对解密图像的质量改善就越明显。当然，随着面积的增大，计算量也会相应增大，所以，增大面积的多少要在图像解密质量与计算开销之间进行权衡，对于本文中的例子，面积增加到16倍时的解密图像(图3(d))与期望图像(图3(a))之间的差异用肉眼已几乎难于分辨了，因此，可以认为在此例中，增大到16倍面积已能得到满意的结果。
图4给出了在上述三种情况下，迭代过程中解密图像的均方差函数MSE随迭代次数的变化情况，由于采用分步离散化在最初的几次迭代中，离散化对MSE影响很小，因而MSE主要受相位恢复算法的误差递减特性的影响，表现出了下降的趋势，此外，由增大面积使振幅自由度的增加也进一步导致了MSE的下降，但随着迭代次数的增加，离散化对MSE的影响开始增大，故而MSE开始增大。可以看出，在迭代240次以后，迭代已经停滞，MSE不再变化，从以上收敛结果可以看出，对于增大到16倍面积的相息图的解密图像，其MSE比未引入无信号区的情况下降了2个数量级。
小知识之MSE
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