admin 图像信息安全问题有着极为广泛的含义，特别医学图像必须考虑其特殊性：数据的冗余性：对大数据量数据加密的可实现性：能否经受住常见的数据有损压缩、格式变换等操作，另外还有病人个人作息的安全性。混沌动力学系统具有伪随机性、确定性和对初始条件与系统参数的极端敏感性，因此，它为图像信息加密提供了很好的途径，利用它可以构造非常好的信息加密系统。另外，采用混沌动力学模型构造的加密系统可以在多媒体信息受到某些信号处理后，仍然可以较好地解出信息。混沌系统由于具有优良的特性，已广泛应用于通信保密中。
一、混沌系统
一类非常简单却被广泛研究的动力系统是logistic映射，其定义如下：
其中，0<μ<4称为分枝参数(bifurcation parameter)，Xk∈(0，1)。混沌动力系统的研究工作指出，当3.5699456--<μ≤4时，logistic映射工作于混沌状态。也就是说，由初始条件XO在logistic映射的作用下所产生的序列{Xk：k=0，1，2，3，…）是非周期的、不收敛的并对初始值非常敏感。当系统参数选取不同的值时，系统能够表现出倍周期分叉(bifurcation diagram)和混沌（chaos)等复杂现象，如图1所示。
从统计特性可看出，由Logistic映射在参数μ=2.0时产生的混沌序列均值为0，自相关是δ函数，互相关为0，其概率统计特性与白噪声一致，是理想密码序列。
另一类简单的映射是Chebyshev映射网，它以阶数为参数。k阶Chebyshev映射定义如下：
其中Xk的定义区间是（-1，1）。事实是通过简单的变量代换，logistic映射同样可以在区间 (-1，1)上定义。其形式如下：
其中λ∈[0，2]。在λ=2的满射条件下，logistic映射与Chebyshev映射是拓扑共轭的。简单地说，从理论上讲，它们可以视作动力性态相同的系统。这两种映射所生成的序列的概率分布函数PDF (ProbabilityDensity Function)也是相同的：
对于公式(1)形式的logistic映射，如果μ=4，PDF可以改写为：
只有公式(3)形式的logistic映射我们才能解析地求得PDF。一般的情况下，我们需要用数值方法求解Perron-Frobenious方程来计算p(x)。通过p(x)，我们可以很容易地计算得到logistic映射所产生的混沌序列的一些很有意义的统计特性。例如，x的时间平均即混沌序列轨迹点的均值是：
混沌系统具有对初始条件极端敏感的特性，给定一个离散混沌系统2个非常接近的初始值，经过几次迭代后，输出的结果可以完全不相关。因此，利用混沌系统对初始条件的敏感依赖性，可以提供数量众多、非相关、类随机而又确定可再生的混沌序列。
关于相关函数，独立选取两个初始值X0和y0，则序列的互相关函数为：
混沌动力系统具有确定性，其遍历统计特性等同于白噪声，因而可以应用于包括数字通讯和多媒体数据安全等众多应用领域的噪声调制。其优势可以总结如下：
(1)形式简单：只要混沌映射的参数和初始条件就可以方便地生成、复制混沌序列。我们不必浪费空间来存储很长的整个序列；
(2)初始条件的敏感性：一般不同的初始值，即使相当接近，迭代出来的轨迹都不相同；
(3)同时，混沌动力系统具有确定性，给定相同的初始值，其相应的轨迹肯定相同。我们可以轻而易举地获得数量极多地非相关混沌序列。而且一般情况下，很难从一段有限长度地序列来推断出混沌系统地初始条件；
(4)从安全的角度，这是非常重要的：具备白噪声的统计特性，可以用于需要噪声调制的众多应用场合。
二、高维混沌映射
高维混沌映射网较之一维混沌映射有较复杂的形式，生成的混沌序列也更加复杂，将其应用于信息加密中，这就大大增加了加密信息的安全性。我们考虑如下形式的二维混沌映射系统：
其中：
式中ai(i =1，2，…，12)均为待定常系数。
二维混沌映射较之低维情况复杂，正性李氏指数(Lyapunov)个数大于一维混沌映射。如下面的形式简单且具有超混沌特性的二维离散系统：
其中a4=1.55，a5=-1.3，a8=-1.1，al0=0.1，Lyapunov指数为0.238和0.166。
如果用它生成数字图像加密的加密变换的因子序列，先分析其特性，实验发现as=-1.3，a8=-1.1，al0=0.1固定，当a4=0.91时，系统进入准周期运动，如图2所示。
而a4=1.66时，该系统已经是超混沌状态了，如图3所示。
三、基于高维混沌映射的医学图像文件加密
高维混沌映射的多个参数和两个初始条件可以设计为密钥得到混沌序列，为了让加密因子序列尽量保持原混沌序列的伪随机性，同时适于后续算法的操作。针对数字图像的特点，结合加密效果与效率指标的要求，我们将混沌序列作线性映射，这样既能保证密钥与初值和模型参数的一一对应和同步相异性，又充分利用了系统可能提供的密空间大小，更重要的它可以有效的防止初值区间超出混沌迭代序列的区间而使密钥无效的问题。这样就得到了一个整数序列{Xt}，即加密因子序列。分别将{Xt}和待加密图像转化为八位二进制序列，进行异或操作便可得到加密图像序列，将该序列转化为整数后就得到了加密图像。整个加密过程如图4所示。
解密时只需要将加密图像作为输入到原加密系统中即可，解密的过程如图5所示。
图6为利用高维混沌系统对医学图像文件加密、解密后的结果。图6(b)是取密钥xo=1时对图像进行加密能够使图像变得杂乱无章，加密效果良好。具有很好的保密性。图6(c)是取密钥xO=1.0001时的解密匿像，可见即使密钥有细微的差别，都无法获得正确的解密图像。虽然二维混沌映射比一维系统计算复杂，但其加密效果好，且加密速度还是相当快的。
四、结论
本加密算法对目前一维混沌序列用于加密时密钥空间小易于被破解等缺点做了改进，具有形式简单，生成速度快，密钥空间大等优点，对灰度图像，彩色图像和压缩图像都适用。
混沌序列具有良好的伪随机特性，在精度取值较高的情况下，它的周期可以无限长，对图像的加密效果好：稍微改变系统参数或初始值便能方便的产生大量的不相关序列；同时，混沌序列的产生仅须一个离散系统的迭代方程，不需任何存储，实现方便简单。因此，混沌序列作为序列密码在密码学界将越来越得到重视和应用。
小知识之Lyapunov指数
Lyapunov指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标,它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。对于系统是否存在动力学混沌, 可以从最大Lyapunov指数是否大于零非常直观的判断出来: 一个正的Lyapunov指数,意味着在系统相空间中,无论初始两条轨线的间距多么小,其差别都会随着时间的演化而成指数率的增加以致达到无法预测,这就是混沌现象。
