admin 由于一维混沌映射有可能退化为周期以及密钥空间相对太小等缺点。现结合一次耦合形式的二维Logistic混沌映射，由此映射生成混沌序列，在空域上对图像文件进行加密，然后对其加密后的图像进行小波分解，对其小波系数进行混沌映射变换，从而在小波域上进行置乱加密。
一、二维Logistic混沌映射系统
1、混沌的定义
设(x，p)是一紧致的度量空间，f：X→X是连续映射，称f在x上是混沌的，如果：(1)f具有初值敏感依赖性；(2)f在x上拓扑传递；(3)f的周期点在x中稠密。
由于非线性动力学系统的混沌具有不可预测性、不可分解性和具有规律行为等特性，非线性系统随时间的演变将趋向于维数比原来相空间低的极限集合，即吸引子。随着控制参数的变化，简单吸引子发展为奇怪吸引子，此时系统是混沌的。由于二维Logistic混沌点集不存在有效的无误差构造形式，比一维Logistic映射有更安全的加密效果。因此研究选用二维Logistic混沌映射生成的混沌序列对图像进行加密。
2、二维Logistic混沌映射
由一维Logistic映射，可以定义二维Logistic混沌映射如：
其中g1和g2是耦合项，可以取两种情况：即：g1=γyn和g2=γxn的一次耦合项，或者g1=g2=λxnyn的对称二次耦合项。采用一次耦合项形式的二维Logistic映射产生混沌序列，映射的形式为：
混沌序列的产生可以由控制参数μ1、μ2和γ决定。
3、控制参数的确定
混沌系统在相空间中的行为是通过奇怪吸引子描述的，为了定量描述吸引子的行为，引入了Lyapunov指数，其大小表明相空间中的相近轨道的平均收敛或发散的指数率。在多维的混沌系统中，Lyapunov指数与系统维数的数目相等，这时称Lyapunov谱。在Lyapunov谱中，不必计算全部的Lyapunov指数，只要最大的Lyapunov指数大于零，系统即是混沌的。最大的Lyapunov指数计算公式：
式子中Ji是混沌系统的f阶雅可比矩阵。当γ=0.1，μ1=μ2= 0.9时，经计算得到的二维Lyapunov映射的最大Lyapunov指数λ= 0.11>0，表明此时处于混沌状态，与计算机模拟的系统相图是一致的。
二、图像加密算法和解密算法
1、加密过程
图像文件加密模型如图1所示。
采用具有一次耦合项的二维Logistic映射产生混沌序列，给定二维Logistic映射的系统初值xo和yo，设原图像，的大小为mxn，算法的具体过程描述如下：
步骤1取原始图像J的所有像素灰度值的异或B，即：
若令k= B/256，则尼即为所得的辅助密钥；
步骤2用辅助密钥k修改混沌系统的初始值：
修正后的x1，y1，作为二维Logistic混沌系统新的初始值；
步骤3选择控制参数γ=0.1，μ1=μ2=0.9，再由式(2)构造(mxn+100)对值为0-1的混沌序列值，舍去前100对值，取第101—第(mxn+100)的共mxn对值，分别存储于数组{x(i)}与{y(i)}中。i=1，2，…，mxn；
步骤4混沌序列k(i)的生成，按顺序取图像中的一点（设点的序号为f），具体方案如表1；
步骤5用原图像I中的第i个像素点的灰度值与步骤4产生的混沌序列k(i)进行按二进制位异或操作，得到加密后的像素值，重复加密过程，直到所有的像素点加密完毕，即得到第一次加密的图像T；
步骤6选择小波函数对，进行R级小波分解，可得到一些分解系数矩阵，采用混沌置乱映射改变低频系数，这样可以大大减小计算量，由于低频系数对图像视觉的影响起主要作用，因此选择对低频系数进行加密也是合理的，最后再由小波逆变换重构所得的图像即为密图。
2、解密过程
由图2，解密过程为：首先对加密图像序列进行小波分解，利用密钥对低频系数矩阵进行混沌映射逆置乱，此时的低频系数再与其余的中高频系数进行重构解密图像1，由混沌序列生成的解密程序再加上密钥对解密图像1做相应的解密，具体的解密程序是加密程序的逆过程，可参考加密中的步骤3、步骤4、步骤5。这样就可以实现信息的解密，输出原图像。
三、仿真试验结果及其分析
下面利用一幅256 x256的标准Lena图像作为试验图像，采用一次耦合项形式的二维Logistic映射产生混沌序列对原图像进行加密，该算法选择Haar小波对第一次加密的密图像进行小波分解，再对低频系数进行混沌变换（此处选用的是Arnold变换）。图像文件加密的安全性是评价一个图像加密系统的最核心的标准。现从以下几方面进行安全性的分析。
1、峰值信噪比的分析
在变换域的图像文件加密中，均方误差(MSE)或者峰值信噪比(PSNR)是评价图像加密的一项重要指标，图像的矩阵大小为mxn，量化级为0～255的原图f（i，j)，密图为g(i，j)。其中：
若用峰值信噪比对解密图像和原图的一致性进行客观评价，则可得到解密图像与原图的峰值信噪比PSNR=77.726l，由此可以看出，客观评价与主观评价结果一致，且性能很好。
2、密钥敏感性分析
由图3(a)为原图，图3(b)为加密之后的图像，图3(c)为正确解密的图像，图3(d)在微小偏差的情况下，即当xo’=0.1000000000000001，y0’=O.11时，获得的解密图像，可以看出密图对密钥具有高度的敏感性。
3、信息熵的分析
信息熵H(m)是反映信源的平均信息量，公式为：
此处的P(mi)表示符号mi的概率，信息熵的单位为bit/符号。假设一个信源是所含28个符号是以等概率出现的，该信源的熵H（m）=8，也即是对应于一个真正的随机信源。事实上，一个具有实际意义的信源很少会产生随机信息，一般的其熵值会小于理想值。然而当信息被加密之后，它的熵理论上应该是8，如果该值小于8，将会存在某种程度上的可预测性，危及安全。根据此分析计算密图的熵：
该熵值几乎接近理沦值8，即该加密系统在加密过程对信源的泄露是可以忽略的，因此可以有效抵御熵的攻击。
4、密文分布特性分析
由图4可知密文的灰度直方图以及灰度三维图几乎趋于均匀分布，很好地掩盖了明文的分布规律，可见明文像素的统计信息在密文中无法体现，明密文之间统计上的相关性非常小，表明方案能够有效抵御基于像素统计的攻击。
5、相邻像素的相关性
为检验密图和原图相邻像素的相关性，现随机从图像中抽取1024对相邻像素（水平、垂直或对角）。其公式计算相邻像素相关系数为：
其中，x和y分别代表图像中相邻像素的灰度值，cov(x，y)为x与y的协方差，D(x)、D(y)分别为x，y的方差。
图5分别表示了原图和密图的水平、垂直和对角方向相邻像素的相关性。
表2则分别列出了按照3种方向计算所得到的相关系数。由仿真试验可以看出，原图的两相邻像素具有高度的相关性，相关系数接近于l。而密图的两相邻像素的相关系数接近于0，相邻像素已基本不相关，说明原图的统计特征已被扩散到随机的密图中。
由像素灰度直方图和相邻像素相关性的分析可知：明文统计结构已经扩散到密文中，说明该算法有很好的扩散性能。
6、差分攻击分析
通常攻击者会通过对密文微小改变（如一个像素）来观察整体的改变结果，通过这种方法攻击者可以找出明文和密文之间一些关系。假如对原图做微小的改变，结果导致了密图的巨大变化，说明密文具有很良好的混沌扩散性，这样差分攻击就会变得无效且无实际意义。
检测一个像素的改变对密文的影响通常用如下两种方法：像素数目的改变率NPCR和整体平均改变强度UACI。记两密文图像C1和C2分别对应着仅有一个像素不同的两明文，定义矩阵D与C1和C2具有相同大小，当C1(i，j)=C2(i，j)时，D(i，j)=l；反之，D(i，j)=0。
其中W和H分别为矩阵D的长和宽。按照上面提出的方案来检测一个像素的改变对整个图像(256x256)中256个灰度级的影响。可以得到NPCR =0.4403%和UACI=33.472%，这一结果表明对原始图像进行微小的改变会导致加密图像很大的变化，因为NPCR的值越小，改变的像素就越多，UACI的值越大，改变后的密图与原密图的像素值的平均改变程度就越大，故加密方案具有较强的抵抗差分攻击能力。
7、密钥空间分析
关于此加密算法的破解，由于算法的密钥为K=(xo，yo，k，γ，μ1，μ2，w，R，c，N)，w为选用的小波，R为小波分解级数，c、N分别为低频系数采用的混沌置乱处理方法和置乱次数，现直接对图像数据流进行解密，解密的过程根本无法实现；如前面的加密算法步骤6中对加密图像T的小波系数进行为止置乱，此时的破解若采用穷举法，对于16×16的图像运算次数为256！≈8.6×10506;对于256 x256的图像，运算次数为65536！≈5.2×10287193。况且此加密算法首先采用了由二维Logistic混沌映射产生的混沌序列，对原图进行空域上的加密，由于混沌系统具有较高的安全保密性能，密钥空间为(0，1)之间的全体实数，由此可见该加密算法的密钥空间非常大，可以有效地抵御对密钥的攻击。
由以上的试验分析可以知道安全性得到了很大的提高。仿真试验还表明解密图像与原图像有很高的峰值信噪比，以及加密图像的灰度直方图几乎接近均匀分布，此加密算法具有良好的扩散和扰乱性，符合现代密码学的特点，而且还能抵御一些攻击。另外由分析可知具有相当高的加密强度，且加密算法简单、易于实现、密钥空间大、不易破解等特点且具有良好的实用性。
小知识之小波变换
小波变换是近年来在图象处理中受到十分重视的新技术，面向图象压缩、特征检测以及纹理分析的许多新方法，如多分辨率分析、时频域分析、金字塔算法等，都最终归于小波变换（wavelet transforms）的范畴中。
