灰度图像的Gyrator变换加密

数字图像是目前流行的多媒体信息存储形式之一，为了满足图像信息的安全要求，通常采用加密算法对其进行加密处理。与传统的加密算法相比，光学信息处理技术不但可将信息隐藏于振幅、相位、波长和偏振方向等光学参数中。并且具有速度快、并行性高、成本低等优点。因此，利用光学信息处理技术进行图像加密处理逐渐成为研究热点晴。而光学的图像加密技术基础，是一阶光学系统在数学上可用线性正则积分变换（即ABCD变换）来描述。

本文介绍了一种利用Gyrator变换和双随机编码，对灰度图像进行加密的方法，并介绍了实现Gyratar变换的光学装置，从实验结果可以看出Gyrator变换具有良好的加密效果。

一、Gyrator变换原理

1、Gyrator变换定义

Gyrator变换既是传统傅里叶变换的一种广义形式，也是线性正则变换的一种特殊形式舟。近年来，Gyrator变换已得到越来越多的关注。其主要应用研究方向目前集中在模式转换、图像处理与图像文件加密等应用方面。

对于二维函数(xi，yi)，其α阶Gynrtor变换的数学定义为：

其中(xi，yi)为空间频率坐标（输入平面坐标），(x0，y0)是空间位置坐标（输出平面坐标），相当于分数频谱面，参数α为分数阶，也称为旋转角。积分变换核函数定义为：

当α=0时，为恒等变换，即：

当α=π/2时，为坐标旋转π/2的傅里叶变换，即在频谱面中坐标x0与y0交换，变换的积分核为：

当α=π/2时，其变换核为δ（xi +xo，Yi +Yo），因此：

当α=3π/2时，为坐标旋转π/2的傅里叶逆变换，变换核为：

对于其他旋转角度α，Gyrator变换的核函数Kα（xi，Yi，x0，Yo）有连续的振幅和双曲线相位结构，Gyrator的积分核表示双曲面波与平面波的积。

2、Gyrator变换的光学实现

Gyrator变换的光学实现装置如图1所示。

图l(a)为Gyrator变换的实验装置，其中L1、L2、L3由三个柱面薄透镜组成，即广义透镜(如图1(b)所示）。图中透镜L1和L3完全相同，它们具有相同的焦距f和角度参数φ。焦距f就等于每两个相邻广义透镜之间的距离，即f1=f3=z，φ1=φ3，它们的相位调制作用也是一样的。透镜L2的f2= Z/2。设φ表示广义透镜的变化参敛，两柱面薄透镜中心轴与y轴夹角分别为φ1和φ2。则广义透镜的位相调制函数表述为：

其中f为广义透镜的焦距，λ为入射光波长，φ为广义透镜对称轴相对于OY轴的位置，φ1和φ2满足φ1=-φ和φ2=φ-π/2。当φ=o、π/2或π时，相当于广义透镜的两个柱透镜正交组合，广义透镜就退化为普通的球面透镜，整个系统也随之变成了有两个傅里叶变换层叠的4f系统。

Gyrator变换的阶次α可通过调节广义透镜的角度φ1和φ2来实现，即α与φ1和φ2的关系为：

3、Gyrator变换的数值实现

从Gyrator变换的积分定义式(1)出发，我们可以利用变量代换得到它另外一种形式，代换过程如下：

若假设其中的

则：

从上式我们可以知道．我们需要分两种情况考虑：

当sinα>0时，上式右边积分可看成傅里叶变换，FFT实现；

当sinα<0时，上式右边积分可看成是逆傅里叶变换，用IFFT实现。

Gyrator变换是可逆的，正好实现它的可逆过程。

二、Gyrator变换的图像文件加密与解密原理

将两块统计无关的随机相位板分别加在Gyrator变换光学实现装置的输入平而和输出平而，分别对待加密图像F(x，y)的空间信息和频谱信息做随机置乱，便可达到加密的目的，在输出平面上得到平稳的白噪声。

加密过程如图2所示。设被加密图像为f(x，y)，首先以f(x，y)乘以一个随机相位exp[i2πc1（x，y）]，之后进行级次为α1的Gyrator变换，再乘以第二个随机相位exp[i2πc1(x，y)]，最后进行级次为α2的Gyrator变换，得到加密图像g(x’，y'）。

图中f(x，y)表示待加密图像的复振幅分布，(x，y)表示像空间坐标，c1和c2分别代表两个在(0，1)之间均匀分布的随机阵列，GL1和CL2为Gyrator变换光学实现装置，即三个广义透镜，g(x'，y')为加密后白噪声图像的复振幅分布。

解密过程如图3所示。先进行级次为-α2的逆Gyrator变换，之后乘以随机相位复共轭-exp[i2πc1（u，v）]，再进行-α1级的逆Gyrator变换，最后乘以随机相位复共轭exp[-i2πc1（x，y）]，得图像f(x，y)。即图像被解密。加密解密过程用公式表达为：

由于α1和α2的收值可以有无穷多，两个随机相位H(u)=exp[i2πc1（x，y）]、H(v)=[-i2πc1（x，y）]也是未知的，在解密过程中，只有准确地知道α1和α2的值以及两个随机相位，才能得到正确的解密结果。所以H(u)和H(v)可用作从加密图g(x'，y’)恢复成x(x，y)的密钥。

三、实验模拟

本文通过MATLAB编稚的方式，完成模拟数字图像的Gyrator加密与解密过程。

设α1=1.1，α2=0.7，对待加密原始图像4进行加密，得到加密图像如图5；对加密图像进行解密得解密图像如图6。

将加密图像图5乘以错误的随机相位H(u)和H(v)进行解密，所得结果分别如图7、图8所示。

将加密图像图5乘以错误的阶数α1与α2进行解密，所得结果分别如图9、图10所示。

由实验结果可以看出：此算法操作简单，保密性较好，正确解密还原以后对图像的破坏也较少，而错误解密所得网像根本无法辨别原图信息。

四、结论

通过对图像文件的加密、正确解密、错误解密缩果观察分析，可以得到以下结论：

1)加密效果好。

加密后网像与原始图像相比，差异明显，已完全掩盖原有图像信息。而经过正确解密后的图像与原始图像比，差异小、信息破坏少，图像信息得到了较好的还原。

2)加密安全性高。

由于在图像加密过程中，图像要进行阶数分别为α1与α2的两次Gyrator变换，并乘以两个随机相位H(u)和H(v)。而作为图像解密秘钥的α1与α2，其秘钥的空间：怍常大，做Gyralor变换的和的取值也有无穷多种。因此，基于Gyrator变换图像加密安性能非常好。