一种黑洞数和Logistic混沌序列的图像加密应用

图像加密技术是数字信息保护的一种有效手段。在信息技术的发展下，人们对图像信息安全性的要求越来越高。为此我们提出了一种基于黑洞数和Logistic混沌序列的图像加密算法。本算法通过对黑洞数的研究，利用黑洞数发生器产生伪混沌序列，将该序列作为初始参数代入logistic算法，产生混沌密钥流对图像文件进行加密。

一、混沌系统

混沌现象最早由美国气象学家Lorenz ET发现。他在1963年进行数值实验时，利用计算机模拟天气变化，发现了系统变化的非周期性和不可预测性之间的关系，给出了一个三变量自治方程（Lorenz方程）来描述混沌现象，并提出了用蝴蝶效应来表达系统长期行为对初值的敏感依赖性。混沌系统还有遍历性和内随机性。初值的敏感依赖性体现为：混沌算法产生的序列，随着初始值的微小变化，将具有非常大的差异性。遍历性和内随机性体现为混沌系统生成的序列分布是离散的。混沌系统的性质十分适合加密领域，并且具有很好的适用性和安全性。因此，现今的加密技术主要以混沌系统作为主要研究方向之一。目前数字图像加密所用的混沌系统主要有：

(1)Logistic映射

是实际系统中存在的最简单的非线性差分方程之一。这是一个动态系统，由于系统在运行过程中表现出混沌行为，因此在许多领域中都被研究和应用，其公式如下：

其中λ称为分枝参数，当λ=2.8时，系统表现出存在两个周期点；当λ=1+根号6=3.4495时，出现四个周期点。随着兄的逐渐增大，存在的周期点数也越来越多，并且频率越来越高，直到达到极限值3.569 945 6--。当3.569 945 6…<λ≤4时，映射处于混沌状态，其产生的序列{xi}是非周期不收敛，随着初始值的不同有着非常大的差异性。该系统初始状态X1在(0，1)中随机取值作为迭代初值，通过公式(1)对这个初始值进行迭代，当λ>3.569 945 672---时，系统进入混沌状态。Logistic映射所构建的密钥序列具有良好的随机性和初值敏感性。

(2) Chebychev混沌序列

以K为映射基数的Chebychev公式如下：

当k=6时，方程处于混沌状态，所产生的序列{Xn}为混沌序列。系统在空间的相邻轨道间收敛或发散的平均指数率(Lyapunov)为1.791 733---。通过Chebychev多项式的混沌映射构建了加密质量控制模型，并进一步构造了图像小波域加密算法。该方法简单易行，兼容性高，但在透明性与运算时间上难以取得较好的平衡点。

(3)正弦映射

Sin方程在某种条件下亦可生成混沌序列，公式如下：

当λ=0.99时，系统处于混沌状态，将初始值XI带入，可获得序列{Xn}。序列{Xn}中的元素值呈混沌分布且离散。由于正弦方程较为简单，其运算速度很快，但易被破解，往往需要与其他算法相结合才能达到一定的安全性。如利用正弦混沌映射和Logistic映射相结合对图像进行加密的方法，但在传输及还原过程中容易造成一定的图像损失。

本文加密算法通过引入数论中的黑洞数，根据其数学特征产生具有一定混沌特性的短序列，结合Logistic映射将图像进行加密。实验结果表明该方法简单有效，加密后的图像具有很好的混沌特征，而且计算速度快、安全性高。

二、黑洞数以及其性质

黑洞数问题是近几十年内出现的有趣数学问题，引起了国内外数学界的广泛注意和研究。数论中对于黑洞数定义为：在含有未知数变量x的代数式y=f(x)中，当变量x任意取值时，其应变量y都不改变，此时称应变量y为黑洞数（数组）。本文主要在重排求差黑洞数的基础上介绍产生伪混沌序列的方法，并应用于图像文件加密。

重排求差方法：任意数字不完全重复的整数x（像33，555，7777等都应该排除），经有限“重排求差”操作，总会得某一个或一组黑洞数y。重排x得到的最大数减去重排x得到的最小数，不断循环此过程，直到落入循环，此循环内的数称为黑洞数（数组）。下表中列出部分数字重排求差流程及结果。

通过数学论证，证明了黑洞数具有3个性质：

1）黑洞数一定能被9整除；

2）奇数黑洞数(位数≥3)定能被99整除，且中间位数字为9；

3）任意黑洞数，其首末位的数字和为10，或者和为9且中间的所有位数皆为9。

本文作者在此基础上作了大量的数据分析研究，发现了更多的规律。

规律1

1)任意位数为偶数（大于2）的黑洞数定能被9整除，首末位数字的和为10，如：表1中x =851 742和x=860832的黑洞数组；

2)任意位数为奇数（大于2）的黑洞数定能被99整除，且中间数字为9。如：表1中z -82 962和x=8429652黑洞数组；

3)对于任意黑洞数必定首末位和为10或者9，和为9时所有中间位数必定都为9。如：黑洞数495。

为了叙述简便，本文加入了边的概念：

定义：当一个数满足规律1中黑洞数性质时，则认为此数字在落入黑洞数的边上或者黑洞数中。

规律2：当一个数落入黑洞数的边上或者黑洞数中，通过对此数字的重排求差运算，很快能得到此数字产生的所有黑洞数。如：表中6619974为首末位为10的非黑洞数，符合规律1条件，只需2次重排求差计算就落入黑洞数。

规律3：对于任意数字x，在重排求差运算至第二次落入黑洞数前，运算过程中所得到的数字序列中所有数字都只出现一次。不同的数字间，在落入黑洞数的边之前，所得数字集合必定不同。如：表1中的所有初始数字，其取落入黑洞数的边之前的数字均不相同。

黑洞数的性质与规律，表明了对任意数字，其重排求差运算过程中直到第二次落入黑洞数前，得到的数字是无序、离散、无重复项的混沌序列。随着不同的初始值，运算所得的数据具有很大的差异性。对于位数较低的x，其黑洞数相对较少，长度较短，无法取得足够长度的混沌序列，并且黑洞数边上的数字具有快速落入黑洞数的特性。因此，本文算法为提高安全性，由随机数发生器生成长度超过10位的初始值x，然后将x代入黑洞数发生器取得伪混沌的运算轨迹序列，最后将伪混沌序列递入logistic算法产生足够长的混沌序列对图像置乱加密。

三、基于黑洞数序列和Logistic的图像加密算法

本文算法通过黑洞数发生器生成具有混沌性质的短密钥流，将其作为Logistic算法的初始值，生成混沌密钥流，截取与图像相同长度的加密密钥流。最后将归一化的加密密钥流与置乱后图像做异或，得到混合加密图像。算法包括3部分：

1）黑洞数发生器生成短混沌序列；

2）Logistic混沌加密；

3）图像解密。流程图如图1所示：

1、黑洞数发生器生成伪混沌序列

由于图像信息的数据储存格式与系统做运算的格式不符，须先对图像进行归一化操作才能再加密。将灰度图像读入后可得到一个M*N大小的二维矩阵I，其中各元素是范围为0～255的整型数据。将I降维为一维图像矩阵IM，其元素数值是以1/256为阶，范围为[0，1]的Double型数据。图像归一化使得图像像素之间的差异性降低，对加密的要求降低。

通过实验发现，对于初始值K，如果其位数越短，黑洞数发生器可计算的步骤越少，不足以产生足够长的密钥流，并且K直接在黑洞数边或黑洞数上的几率较大；当K超过8位，大多随机数可产生足够长度的密钥流，即使不同的K皆落在同一黑洞数（组）上，不同数字落入的黑洞数组的位置也极有可能不同，甚至落入不同的黑洞数（组）中。所以K的位数越高，安全性越高。本文认为K位数超过10时最佳，在长度超过10的情况下，只要不是黑洞数中的数值，即使K与某个黑洞数的边相邻，发生器产生的序列也是非常安全的。

由随机数发生器产生一个位数大于10的初始数K，K中每个位的数字不能完全相同。为保证黑洞数发生器能取得尽可能长的伪混沌序列，先检测K是否在黑洞数和黑洞数边上。对于不符合要求的K，则由随机数发生器重新生成K。符合要求的K将作为提取密钥反馈给用户，然后将K作为黑洞数发生器的初始值代入，运行黑洞数发生器并记录每次运算结果，直到运算落入第二次循环时跳出。所记录的数值即为伪混沌序列L，黑洞数发生器生成伪混沌序列操作完成。判断黑洞数边的公式流程如下：

步骤1 将密钥K看作由n(n≥10)个一位数组成的数组K={ai，a2，…，an）。

步骤2判断K是否在黑洞数或者黑洞数边上：

(1)将K的首末位a1，an代入公式(4)，求首末位数字和，如果Adi值为o(1)则表示首末位和为10(9)；

(2)当n为偶数时，将{a1，a2，…，an）代入公式(5)，判断所得Ad2是否为整数；

(3)当玎为奇数时，将{a1，a2，…，an）代入公式(6)，判断Ad'2为是否为整数且Mi为O。

如果将K代入后并不满足步骤2中的(1)和(2)或者(1)，(3)时，说明K为远离黑洞数的数字。此时K代入黑洞数发生器中得到的伪混沌序列更长，不同K得到的伪混沌序列间的差异性更大。

黑洞数发生器取得序列的程序段如下：

forj =1:30 %运行黑洞数发生器30次

if length(K(j))～=length(K(I)） %判断位数，如果发生器前一次取得数值如098等，则变为980后参与运算

adkeyO')=adkey(j)*lO^(length(adkey(j))-length(K(I)));

end

key(1)=K(j)； %赋值给中间变量

for i=l:len 将变量中各位数分离，如kn={a}转换为K={a1，a2，…，an}

A(i)=fix(key(i)*10^(f_len));

key(i+l)=key(i)-A(i)*lO^(len-i);

end

B=sort(A,'descend'); %重新排序降序

B 1(1)=0；

for i=l:len %重新转换，如{ai, a2，…，an}一>{a}

BI(I)=BI(l)+B(i)*lO^(len-i);

end

C=sort(A); %重新排序升序

Cl(1)=O；

for i=l:len %重新转换

CI(I)=CI(l)+C(i)*lO^(len-i);

end

K(j+I)=BI-CI; %将升序和降序排列做差，并记录数值给下一级Kn+i

初值Ki通过时钟密钥key控制的随机数发生器取得，运行黑洞数发生器，从记录得到的K={K1，K2，…，K30}中，去除循环数部分，得到的K={Ki，K2，…，K}即为所求的伪混沌序列。

2、Logistic混沌加密

本文将伪混沌序列三中元素进行归一化，使序列三中的每一个数据都符合logistic混沌算法的要求，然后将所有数据分别代入logistic公式，取得多组混沌序列，将其相连并根据图像IM的大小截取相同长度，得到加密序列XL，将图像像素加密。此方法的实现较为简单，加密流程如下：

步骤1将L= (L1，L2，…，Ln)中数据进行归一化操作，先全部转为0～1之间的double型数据，取8位有效数字，如3847243837+0.3847244，得到L’={L'1，L’2，…，L'n}。然后将L’n代入公式(7)变换，得到一组logistic参数λ，λ={λ1，λ2，…，λn）。

步骤2将L'和λ的元素按组（如L’1和λ）代入logistic公式(1)并做迭代。迭代次数i由公式(8)取得：

ceil为截尾取整，如果有小数则在取整后加1。将公式(1)迭代i次，记录每次结果，去除前30个数据。代入所有的三和力可得到n组混沌密钥流，根据图像大小截取相同长度的密钥流，合并为图像加密矩阵X。

步骤3将混沌加密矩阵XL与图像像素值做异或运算生成加密图像。异或公式见公式(9)：

步骤4将所得的置乱图像I'M由一维矩阵转换成二维矩阵，至此图像I经过混合加密得到加密图像I'M，加密算法结束。

3、图像解密

图像解密的步骤与加密步骤类似，先将提取密钥key带入随机数发生器取得K，将K和加密后的图像I'M代入加密逆过程，把K作为初始值代入黑洞数发生器，产生伪混沌序列L，然后将伪混沌序列L’代入Logistic加密算法取得解密序列XL，将魁与图像I'M做异或，提取解密图像。

四、试验结果与结论

本文系统测试选择的图像为“上海SSPU”，像素数大小为256x256，硬件测试环境为CPU 2.6GHz；内存512MB;软件环境为wINDOWS-XP, MATLAB 7.9.0。测试结果见表2。

选择输入的时钟密钥为20，分别对图像进行了加密及置乱，解密效果显示：无论是先加密后置乱，还是先置乱后加密，加密后的图像都有着较高的安全性。仿真结果表明，该算法运算速度较快，具有较高的抗攻击和抗干扰能力，有一定的实用性。

测试结果表明，黑洞数发生器足以产生一定长度的密钥流，结合Logistic进行混沌加密的图像能够达到很好的加密效果，具有很高的安全性，随机数发生器产生的随机数x的位数对系统运行时间的影响较小，总体的运算时间极少。

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