admin 当前数字图像文件加密的方法有很多种，如基于混沌理论的加密方法、基于矩阵变换的加密方法、对空间域像素值的加密方法、对变换域系数的加密方法等。我们以罗曼提出的任意阶傅里叶变换光学实现的透镜模式的分数傅里叶变换数值算法为基础，实现制作分数傅里叶变换计算全息图的过程，从而达到通过分数阶的控制来实现数字图像在空间频率域的加密。
一、计算全息图
1、计算全息简介
光全息术是利用光的干涉和衍射原理，将由物体反射的特定光波以干涉条纹的形式记录下来，并在一定条件下使其再现，形成与原物体逼真的三维像。由于记录了物体的全部信息（振幅和位相），因此称为全息术或全息照相术与普通照相相比，全息照相有2个突出优点：①三维立体性，②可分割性。但由于光全_息术对仪器设备要求较高，实现条件比较苛刻。因此_全息图记录和再现的数字式实现，即计算全息引起了人们的重视。计算全息图具有制作灵活方便，抗干扰能力强，噪声小，易于复制，同时也毋需昂贵的设备和仪器，不用复杂的光路排布等优点。
一般计算全息图是先用计算机制作全息图，然后用光学方法再现或者用数字方法再现，具体过程分为对物光信息的采集、处理、编码、存储和再现5个部分。
物光信息的采集是指确定物光信息的函数形式，一般表现为复振幅透过率函数（或反射率函数）。物光信息的处理，文中利用分数傅里叶变换全息图，即使用计算机完成物函数的分数傅里叶变换得到全息平面的复振幅函数。信息的编码足指借助参考光波和物光波干涉来锁定相位信息，用计算机算出全息图上干涉条纹的分布函数，即全息图的透过率函数，这种编码方式称为干涉形编码方式，用这种方法制作的全息图称为干涉形计算全息图。分数傅里叶变换全息图采用的就是这种方式。信息的存储和再现，文中采用计算方法实现波前再现计算全息图。
2、全息图的记录
全息术中全息图记录的一般光路如图1所示。自激光器输出的光束经分光器BS分为2束：1束经反光镜Mi反射和透镜Li扩柬后投射到记录介质H上作为参考光R；另1束经M2反射和L2扩束后照射到物体上，再经物体表面的漫反射作为物光波也投射在记录介质上，形成物光0。参考光和物光相干，将记录介质置于该干涉场中，于是就将物光波的全部信息（包括振幅和相位）以干涉条纹的形式记录下来。这就是波阵面记录过程。
假设在全息图平面上物光和参考光的复振幅分别为：
则物光波和参考光波在记录介质平面上叠加后的光强分布为：
其中：第1、2项是光的自身干涉，为背景强度；第3项包含了物波信息。大小是周期性变化的，引起明暗条纹的出现。
假设用全息干板作为记录介质，那么在线性记录条件下，对于透射全息图，其特征可用振幅透射系数Th（x，y）表示为：
其中：τo是未曝光全息干板的透射系数；β是综合常数或全息感光度。
3、全息图的再现
波阵面重现过程一般是用与参考光波相似的光波（照明重现光波）照射全息图，该光波可以表示为：
这样透过全息图的光波复振幅为：
其中：第1项为直射光波或0级光波；第2项带有物光波O的信息，为原始像光波Io（通常为虚像）或+1级衍射光波；第3项带有与物光共轭(O’)的信息，为共轭像光波IC（通常是物的一个实像）或一1级衍射光波。相位因子（cPc - cpR）和（tPc+(PR)的作用是改变重现光波的相位。若利用参考光的共轭光波照明，它的光场分布是R’(x，y)，则有：
此时第2项中因有附加相位项2pR，虚像将发生畸变，即光波传播方向偏离了原物光波的传播方向；而第3项由D‘所产生的实像则不发生任何畸变，即按物光波的共轭波传播。
二、分数傅里叶变换及其数值实现
1、分数傅里叶变换
分数傅里叶变换由Namias在1980年引入量子力学，用以求解偏微分方程。 1993年，Mcndlovic等从光在二次梯度折射率介质中的传播人手，给出了分数傅里叶变换的级数形式表达式。1993年，Lonmann利用Wigner相空间旋转的概念给出了分数傅里叶变换的积分形式。
设f(x)为输入信号，则其p阶分数傅里叶变换定义为：
其中常数：
P（o<|p|<2)为分数阶，φ=P×π/2
容易验证f2[f(x)]=f(-1）和f [f(x)]=f(x)。
其物理意义为f2相当于将戈轴的2次连续π/2旋转，因此得到一个指向为-x的轴；而f4表示对f(x)进行4次连续的rr/2旋转，所得结果与原函数完全相同。
2、分数傅里叶变换的数值实现
下面是基于任意阶傅里叶变换光学实现的透镜模
（1）菲涅耳近场衍射的角谱算法
设物体在单位振幅均匀平面波照射后，光场分布为f(xo），则传播距离为z处的衍射光场的菲涅耳衍射积分表示为：
把上面积分表示为人射光场与系统函数卷积的形式为：
利用卷积定理，式(11)在频域中表示为：
通过对入射光场分布函数进行傅里叶变换，然后乘上一个二次相位因子，对结果施以逆傅里叶变换即可得到菲涅耳衍射光场的分布：
其中省略了相位因子，将空间频率坐标u转换为衍射平面的空间坐标xλzu，并将式(10)离散化为:
其中：k=2π／λ为波数；N为输入输出面的采样点数；m，m,m'分别为输入面，傅里叶变换面和菲涅耳衍射平面的离散序数。这些结果可以直接推广到二维信号中。
（2）任意阶分数傅里叶变换光学实现的透镜模式
对应于上面分数傅里叶变换的纯数学的描述，Lohmann提出了任意阶分数傅里叶变换光学实现的透镜模式，把分数傅里叶变换理解为透镜的位相转换与菲涅耳衍射的结合。文中采用的结构如图2所示，图中，透镜为薄透镜。
当透镜焦距f和距离z满足下面条件：
时，图2的装置将完成p阶分数傅里叶变换，图中Q=sinφ，R=tan(φ／2)f1为变换系统的标准焦距。下面根据图2所示装置，对光场沿系统主轴在系统中的传输过程进行分析。假设左平而为物而，则右平而即为分数傅里叶变挟域面。物光从物面传到透镜的过程是菲涅耳衍射过程，可表示为：
其中f1(x1)为透镜前表面光场分布。透镜后表面光场分布为：
光场从透镜后表面传播到分数傅里叶变换域面的过程是一个菲涅耳衍射过程，可表示为：
公式（15）-（17）合并为：
运用上述菲涅耳快速算法对整个表达式作离散化处理，可得到如下算法流程图：
此算法漉程图可以直接扩服到二维町分离变量的情况。
3、分数傅里叶变换全息图的制作与重构
设记录物体为二值化后的数字图象，使用计算机完成物函数的分数傅{琶叶变换得到全息平面的复振幅函数，使用干涉彤编码方式对物光的相位进行编码。
在Maclab平台下，分别以文字刚像和人物图像为例，进行模拟记录和重现过程。
系统相关参数设为：参考光波方向角8= π/6，记录系统入射波长λ= 630 mm（红光），透镜焦距f=150 mm。得到如图3所示的结果。
在图3中，图(a)是原物图像；图3(b)是原物图像在0.9阶分数傅里叶变换域生成的全息图；图(c)是对图(b)所示全息图进行阶分数傅里叶变换所得到的重现图像，这是由于4阶的分数傅里叶变换可以使原图像精确重现；图(d)是对图(b)所示全息图进行p’=3.3阶分数傅里叶变换所得到的结果。这是因为记录和重现时的分数阶不匹配，导致在作匹配分数傅里叶变换时，有共轭项的存在，结果图像中含有了背景噪声，所以得不到原物的重现图像。这一结果表明如果没有正确的分数阶，是无法正确重现图像，那么利用这一原理就可以实现对数字图像文件加密的目的。
小知识之菲涅耳衍射
经典的标量衍射理论最初是1678年惠更斯提出的，1818年菲涅耳引入干涉的概念补充了惠更斯原理，1882年基尔霍夫利用格林定理，采用球面波作为求解波动方程的格林函数，导出了严格的标量衍射公式。
