admin 大家都知道，一元样条最小二乘已在测绘学的某些方面，如地球物理学、天体物理学中得到了较好的应用；而二元样条最小二乘拟合由于计算上的困难，应用还不多。为此，我们今天就给大家介绍一下二元样条最小二乘拟合的原理及在地图投影数据加密中的应用。
一、二元样条最小二乘拟合的原理
1、二元样条最小二乘法
给出三维空间上的点列{Pk=(uk,vk,zk)}lk=1，为方便起见，记a=minkuk，b=maxkuk，c=minkvk，d=maxkvk，取张量积型B样条函数作为拟合的基函数。为此，首先对矩形R=[a,b]×[c,d]作分划△=△x×△y
再把分划△扩充成为：
此时可对该节点序列作出B样条函数Bt，μ(x)，B_j，v(y)(i=-μ，…，M，j=-v，…，N)。其中，Bi，Λ(x)，B_j，v(y)均是通过类似于以下m次B样条递推关系式求得的。
为方便起见，以下记Bi(x)=Bi，μ(x)，B_j(y)=B_j，μ(y)，因此关于x为μ次的、关于y为v次的、关于分划△的二元张量积样条函数可唯一地表示为：
这样的二元张量积样条函数的全体构成的是一个线性空间S(△)。而二元样条最小二乘问题就是指在空间S(△)中寻找出合适的s(x,y)，使得：
这实际上相当于求解系数cij，因此这里必须要求：
1≥(M+μ+1)×(N+v+1)。
下面的定理回答了当节点和数据点之间满足何种关系时，极小化问题(1)存在唯一解的问题。
定理_记矩形小区域Rij={(x,y)|x-μ+i<x<xi+1,y-v+j<y<yj+1}，则极小化问题(1)存在唯一解的充分必要条件是：对1≤ij≤l且两两不相同的点列Pij有：
(i=0,1,…,M+μ,j=0,1,…,N+v)成立。当l=(M+Λ+1)×(N+v+1)，并且定理中的条件(2)满足时，最小二乘法具有插值法的自适应性，因此就得到了矩形域R上的一般插值样条函数，但它显然又比一般插值样条插值点的分布要灵活得多。
2、 二元样条最小二乘问题的求解
下面针对已知点为网格点列{(uΑ,vΒ,zΑΒ)}m,nΑ=1,Β=1的情形，在定理1的条件得到保证的情况下，推导具体的计算步骤。记：
为求解极值问题(1)，令：
整理后得到以下线性方程组：
直接对方程组(4)求解将是十分复杂和不可取的，因为需要求解一个(M+μ+1)×(N+v+1)阶的代数方程组，特别当M和N都很大时，计算量相当大。为此引入阵列代数的方法进行计算，并且引入以下记号：
则(4)式可写为：
故：
可以容易看出，此时问题转化为两个阶数分别为M+μ+1和N+v+1的矩阵的求逆问题，从而大大简化了计算。
二、二元样条最小二乘在地图投影数据加密中的应用
数字化地图数据处理、地图制作等工作中常常需要对数据文件加密。通常用的二元代数多项式加密方法受到点数的限制，由于乘积型双三次等距B样条插值函数，该方法不受点数据的限制，可以加密较大范围内任意点的坐标值，试算的结果也表明有较好的精确性。但由于采用的是3次基本等距B样条函数，并且要求数据点是等距分布的，这在应用上具有一定的局限性，而二元样条最小二乘法则不存在这样的限制。
在实际的数值计算中，通常采用3次B样条函数，分划的内节点则取为固定的情形，特别地，可取：
扩充分划时，令：
而对矩阵求逆时，应采用选主元技术，以保证结果的精确性。
对表中的数据进行加密运算。取由(Υ,Κ)决定的不等距网格点为已知点列，其中Υ=0,4,6,12,16,22,26,Κ=0,2,8,12,20,22,26。按前面给出的算法，为使最小二乘法具有插值法的自适应性，取M=N=3，可求得样条最小二乘函数s(x,y)，进而可计算出矩形域R=[0,26]×[0,26]上任意点处的坐标值。这里我们把已知数据加密成经、纬度间隔均为2°的网格点列。表1是部分试算结果。
试算结果与原数据进行比较可知，在得到的196个网格点中，仅有10个点处的坐标误差超过了0.001，而最大的误差值为0.0014。结果表明，二元样条最小二乘拟合的数值逼近程度很好，完全能够满足制图中对数据精度的要求。
小知识之最小二乘拟合
最小二乘拟合是一种数学上的近似和优化，利用已知的数据得出一条直线或者曲线，使之在坐标系上与已知数据之间的距离的平方和最小。利用excel的自带函数可以较为方便的拟合线性的数据分析。
