admin 混沌图像加密技术是近年来发展起来的一种新的图像加密技术，但目前采用的混沌系统大都是整数阶的一维、二维或三维混沌系统，很少使用分数阶的混沌系统。以Duffing系统为例，对分数阶Duffing系统和整数阶Duffing系统进行分析，当两个系统取相同参数并都达到混沌状态时，对混沌序列的伪随机性进行分析比较，可得到分数阶的混沌系统的伪随机性更强，并且分数导数的阶数也可以作为密钥，理论上比整数阶系统的密钥空间大得多，分数阶Duffing系统更适用于图像加密，并具有很好的加密效果。
一、分数微分型Duffing方程的数值方法
经典的分数阶Duffing方程为：
当q＝1时，即为整数阶Duffing方程。为了方便计算，将分数阶微分方程转化为状态方程：
其中，Dq［X1（t）］＝Z（t），x1、x2为系统的状态变量，p、ω、c、d、e为系统的参数，q为微分的阶数。
本文采用工程中应用较广的黎曼－刘维尔定义的分数微分：
并采用分数微分的Zhang－Shimizu数值算法。
二、分数微分型Duffing混沌序列及预处理
系统的初始值设为：
x1（0）＝0.4，x2（0）＝0.2，控制参数为C＝0.3，P＝0.84，d＝－1，e＝1；ω＝1.2。分数导数阶值q变化时，分数微分型ω振子的长时间动力学行为影响的分数导数阶值－位移分岔图如图1所示。
从图1可以看出，当0.2＜q＜0.9时，系统为拟周期运动或者混沌运动。由于篇幅有限，仅以q＝0.6为例，在相同的初始值和相同的控制参数下，分数阶和整数阶系统的相图、功率谱、庞加莱截面图分别如图2～图4所示。
由上面各图可以看出，分数阶和整数阶系统的相图都出现了两个吸引子，功率谱图的峰值连成一片，且庞加莱截面上是一些成片的具有分型结构的密集点，以上三点说明了此时分数阶和整数阶的系统都进入了混沌状态。
混沌序列的伪随机性越强，那么图像置乱效果会越好。按照Golomb对伪随机序列提出的三个公设，理想的混沌序列应具有以下统计特性：均匀分布，自相关是δ函数，互相关是零。
根据图像加密对混沌序列的需求，我们对分数阶和整数阶的混沌序列分别进行以下预处理：去掉各实数值的整数部分，再将小数点后移三位，从混沌序列中每隔十个取一个组成新的混沌序列，得到的分数阶和整数阶的混沌序列及自相关特性和互相关特性如图5～图9所示。
从上面各图可以看到，0.6阶Duffing系统与整数阶系统的混沌序列相比较，均值都接近于0，分布很均匀，但0.6阶系统的混沌序列的自相关函数更接近δ函数，互相关性更接近于0，说明0.6阶的混沌系统伪随机性比整数阶混沌系统要好得多。为了更清晰地看出分数阶和整数阶混沌序列的差别，用表1来说明0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8阶与整数阶的差别。
从图5～图9以及表1可以看出，在均值方面，分数阶序列与整数阶序列的均值都几乎接近于0，说明分数阶序列与整数阶序列分布都很均匀；在自相关方面，分数阶序列的自相关函数旁瓣最大值比整数阶序列的小得多，更接近δ函数；在互相关方面，可以看出，分数阶序列的互相关更接近0。由以上三点可以看出分数阶序列比整数阶序列的伪随机性更好，使用分数阶序列进行图像置乱会有更好的置乱效果。
系统的参数和初始值都可以作为图像加密的密钥，对于分数阶系统来说，除了整数阶所具有的初始值和系统参数外，阶数q值也可以作为密钥。设每个混沌系统的初值均有16位有效数字，
则分数阶混沌系统的密钥空间为1016×7＝10112，而整数阶混沌系统的密钥空间只有1016×6＝1096。从理论上来说，分数阶序列的密钥空间要比整数阶序列的大得多。
三、分数阶系统进行图像加密
选两幅纹理特征不同的图像作为加密对象，大小都是056×256，其中一幅是标准图像lena。采用上述分数阶系统产生的混沌序列对图像进行加密，只把x1的初始值作为密钥，其他参数如上面所述保持不变。
从图10和图11可以清楚地看到，加密后的直方图分布比较均匀，统计特性较大，掩盖了原始图像的特征，密文能够抵抗攻击；原始图像竖直方向相邻像素的相关性比较大，而加密后破坏了竖直方向相邻像素的相关性，几乎没有相关性，说明图像特征已经很好地扩散到加密图像中。当密钥误差为10－15时，得到的错误解密图像为10h和图11h，可以说明即使密钥只有微小的误差也不能正确解密。
本文通过相位图、功率谱图、庞加莱截面以及分岔图，对取相同参数和初始值的Duffing的分数阶系统和整数阶系统的动力学特性进行了比较，当两个系统都进入混沌状态后，分数阶的Duffing系统要比整数阶的伪随机性更强，密钥空间更大，当密钥误差为10的-15次方时，都不能正确解密。综上所述，用分数阶Duffing系统进给图像文件加密效果比整数阶的更好。
小知识之数值算法
现代数值分析研究的是适合于用计算机实现的数值方法，即数值算法。
