admin 自从1995年有专家提出基于双随机相位编码光学图像加密的算法以来，人们研究了多种用于图像加密的傅立叶变换（K2）光学系统和相应的加密算法。如一些专家提出用分数傅立叶变换（KHK2）光学的方法实现图像的双随机相位加密，这种方法比用K2系统加密有更好的保密性能。依据一些专家提出的变形分数傅立叶变换（FRFT）光学实现的理论，提出了采用AFRFT光学系统实现双随机相位编码的加密方法。
采用变形分数傅立叶变换的光学图像加密方法
二维KHK2一般定义为：
其中：
Cpx和+Cpy是两个复常数。px和py分别表示沿x轴和沿y轴的一维FRFT的阶数。当px=py时，Fpx,py｛_｝为常规的FRFT；当px≠py时，Fpx,py｛_｝为AFRFT。这时，式（1）可写为：
一般有：
式（4）（5）说明：完成一次二维AFRFT，可以先做沿x轴（沿y轴）的一维FRFT，再做沿y轴（沿x轴）的一维FRFT。光学上完成一次二维AFRFT可以由两个主轴相互垂直的柱面透镜分别沿x轴和沿y轴做不同分数阶的一维FRFT来实现。
采用变形分数傅立叶变换的光学图像加密过程
采用AFRFT实现光学图像加密和解密的光路简图如图1所示。
其中，族参数
其中，μ=x,y；v=1,2，λ=E为加密，λ=D为解密，f为柱面平凸透镜的焦距。为了达到加密后的图像能正确解密的目的，根据分数傅立叶变换的特性，只有相同族参数的分数阶变换级联时，其阶数才可以相加，因此，必须保证Feμ1=Fdμ2和Feμ2=Fdμ1。同时，为了便于光学实现，考虑让加密和解密时各个透镜的焦距相等，这就必须使：
这样就有Fdμ1≥0，Fdμ2≥0即解密的分数阶为非负数。根据相关资料，在解密时采用负的分数阶进行解密，则在保证族参数相同的条件下，其光路是相当复杂的，不便于光学实现。图1中A、B、C、D处分别为相应的一维分数傅立叶频谱平面的位置。
设将要加密的图像为实值函数f（x，y），两个随机相位掩膜分别为M1(x,y)=cxp[j2πφ(x,y)]和M2(x,y)=cxp[j2πψ(x,y)]，其中φ(x,y)和ψ(x,y)为在［0，1］中随机分布的白噪声。依此提出的加密光路、加密过程如下：首先，在输入平面xy上，用f（x，y）与M1(x,y)相乘得到输入信号i(x,y)=f(x,y)M1(x,y)；i(x,y)依次经过阶数分别为Px1、Py1和Px2的一维FRFT，在x'，y'平面上得到频谱I(x',y')=Fpx2{Fpy2{Fpx1{i(x,y)}}}，并让I(x',y')与M2(x',y')相乘后进行阶数为Py2的一维FRFT，在输出平面uv上得到文件加密后的图像E(u,v)=Fpy2｛I(')M2(x'y')}。这将是白噪声图像。
解密时，平面uv为输入平面，解码相位掩膜为
。解密过程为：首先，将加密图像E(u,v)进行阶数为2-py2的一维FRFT，可在平面D上得到：
再经过阶数为2的"方向的一维FRFT，把它转变为x'y'平面上的I(x',y')M2(x',y')，并用M3(x',y')进行滤波，则在x'y'平面上可得到I(x',y')M2(x',y')*M3(x',y')=I(x',y')。然后，将I(x',y')依次进行阶数分别为2-px22-py2和2-px2的一维FRFT，即：
在输出平面xy上可得到i(x,-y)=f(x,-y)M1(x,-y)。在xy平面上用CCD摄像机可将相位函数M1(x,-y)消除，得到图像|f(x,-y)|2，在计算机中可以将|f(x,-y)|2转变为|f(x,y)|2，这样就完成了图像的解密过程。
基于变形分数傅立叶变换光学的图像加密方法的显著特点是在解密时采用了便于光学实现的非负阶次的分数傅立叶变换。仿真结果表明：采用该方法进行图像加密，能够使加密系统加密的自由度增加到6个以上；当分数阶作为加密密钥时，密钥个数比采用常规FRFT的要多2个；在盲解密时，系统对分数阶的错误的敏感性比采用常规FRFT的系统要强，任何一个分数阶独立的错误|△|＞0.005时，得到的解密图像人眼将难于分辨，分数阶作为密钥的鲁棒性很好。
小知识之傅里叶变换
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。
