admin 离散分数傅立叶变换是离散傅立叶变换的推广形式,在光学、信号处理特别是数字图像加密等方面有着广阔的应用。传统的离散分数傅立叶变换(DFrFT)和离散分数哈特里变换(DFrHT)的定义是由台湾学者Pei给出的。那么接下来，我就给大家介绍这种基于离散分数傅立叶和哈特里变换的图像文件加密方法。
一、基本的离散傅立叶变换
离散傅立叶变换(DFT)矩阵F定义如下:
基于F的特征分解，N×N维离散傅立叶变换矩阵定义为：
T表示转置，矩阵V=[v0|v1|…|vN-2|vN-1]和V=[v0|v1|…|vN-2|vN]分别对应N为奇数和偶数。Λ是一个对角矩阵，对角元素是V矩阵中每列的特征向量元素vk，这里vk是标准化了的k阶赫尔米特-高斯特征向量。
二、两类离散算子的构造和性质
1、M(σ,τ)的构造和新的DFrFT与DFrHT
Pei定义的DFrFT与DFrHT间相互关系如下:
这里zτ=Fτx，yτ=Hτx，P是一个反对角矩阵，并且x是一个随机向量。这种关系可以被改写为：Fτ=
。
这里根据Pei的定义：
因此Fτ和Hτ可以通过乘以一个离散算子：
实现相互转化。所以，进一步一般化这种关系来构造M(σ,τ)：
由于Fr，Fi具有0特征值，因此有：FarFbi=FbiFar=0，a，b∈R。
同时得到：
这样就得到了新的DFrFT与DFrHT的定义：
这里定义的M(σ，τ)的主要性质如下：
（1）当σ=τ=1时，
（2）因M(σ，τ)无零特征值，其逆矩阵为
所以M(σ，τ)是一个酉算子。
2、矩阵W(α)的构造及其性质
考虑N×N矩阵W(α)=VAVT，这里A是对角矩阵，对角元素为α=(α0,α1,…αN-1)，V是由DFT赫尔米特特征向量构成的N×N矩阵
计算向量α的DFT变换如下：
因此一般情况下矩阵W(α)分解计算如下：
这个结果无论N是奇数还是偶数的情况下都是成立的，也就是说构造矩阵W(α)可以被分解成一系列离散分数傅立叶变换加权求和的形式，而且分数阶是规则递增的，其中加权系数是随机特征值向量的离散傅立叶变换结果。除此之外，矩阵W(α)还具有许多离散变换的优良性质，具体如下：
（1）单位变换：当
退变换化为单位变换；
（2）傅立叶变换：当
时，该变换退化为傅立叶变换；
（3）指数可加性：
；
（4）指数交换性：
；
（5）可逆变换性：
其中：
三、图像加密应用
1、 使用M(σ，τ)加密
选取σ=5115，τ=0123加密算子为H-(σ+τ)=H-5138，数值仿真结果是图1～图2。
2、 使用W(α)加密
选取
，t=0:0101:2155，数值仿真结果是图3-图4。
3、误差(MSE)分析
一般的来讲，在第一种方法中使用σ，τ来加密，因此数值模拟后的误差图5，图6如下：
可以看到在最接近正确解密点σ=017，τ=017时，误差的趋势是极不规则和不可预测的，同时当离开正确解密点时，误差迅速增加到10的4次方级别。所以要想破译几乎是不可能的。
本文通过构造一个新的离散算子M(σ，τ)来给出DFrFT和DFrHT新的定义，另外构造并研究了一类特殊的矩阵W(α)，它可以被分解成一系列离散分数傅立叶变换加权求和的形式。研究发现，这两个新的算子拥有几乎所有离散算子的性质，包括可逆性、指数可加性、可交换性等等。最后作为应用的例子，将这两种算子应用到图像加密上，数值模拟结果显示这种方法是可行的且保密效果更好。
小知识之傅里叶变换
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。
