基于空间混沌的图像加密设计 - 夏冰加密软件技术博客

近些年来，为高图像传输过程中的安全性，已经提出了很多基于混沌方法实现图像加密的算法，但在系统的加密中，利用一维混沌，则小密钥空间和弱的安全性的缺点就显得非常突出。为克服前面提到的缺点，我们设计了一种新的加密方案，该方案采用高维混沌映射和传统的加密技术相结合的方法，即用空间混沌复杂的非线性行为产生的随机序列去置乱图像中像素的位置，与此同时，用另外两个不同参数的空间混沌映射去置乱原图像和加密后的图像。

一、空间混沌系统

空间推广的二维系统差分形式如下：

这里，f（μ，（1+ω）v）是非线性函数，m，n，Xmn是三维空间的几何坐标，μ是实参数，ω是实常数。事实上，方程（1）是物理中一维对流方程的离散形式，

基于空间混沌的图像加密设计

由于方程（2）带有非线性的强迫项，因此，对于方程（1）的定性研究可以为方程（2）的研究提供一些有用的信息。

注意到当n=n0，ω=0 系统可以化为下面一维形式：

因为n0是常数，上面的方程可以写为：

这是我们熟悉的一维形式。具体地，当f（μ，xm）=μXm（1-Xm）方程可以写为：

这是众所周知的一维Logistic模型。特别地，当3.7<μ<4时，系统是混沌的。

显而易见，当f（μ，（1+ω）xmn）=1-（μ（1+ω）×xm，n）2时，二维离散动态系统可以写为：

研究表明当，2>μ≥1.55，ω∈（1，-1）系统呈现混沌状态，由于有两个独立的迭代变量，故称系统（6）为空间的二维Logistic映射。

空间混沌系统是一维混沌映射的推广形式，由于在空间混沌映射中有m和n两个变量，从而非线性的性质增强，所以，由它产生的加密序列比由一维混沌产生的序列（一个变量m）更为复杂，更具有随机性，更难预测这样的混沌序列，因此，空间混沌比一维混沌更有利于加密和一维Logistic混沌映射相比，在空间混沌系统中，不仅有两个控制参数μ 和ω，而且研究表明推广的空间混沌系统的轨道对参数变化是极其敏感的，并且系统（6）产生混沌行为有更宽的参数范围，所以参数μ 和ω 及初始条件都能用来作为密钥。当μ = 1.75， ω = 0.05时，系统（6）的混沌和二维分岔行为如图1~3所示。

基于空间混沌的图像加密设计

间混沌映射实现图像加密，即：

基于空间混沌的图像加密设计

相对应的系统为：

基于空间混沌的图像加密设计

二、加密方法

1、置换过程

根据Golomb的关于伪随机序列的3个假设，理想的混沌序列应具有如下统计特征:均值为零，自相关特性为δ函数，互相关特性为零特性.由方程（7）生成的混沌序列{xi，j}的自相关和互相关特性如图4所示。图4（a）出示了自相关特性，图4（b）出示了初始值仅仅有一点变化（<1010）时两个序列的互相关特性，这说明了{xi，j}对密钥的变化是敏感的。同理能得出{yi，j}和{zi，j}对密钥的变化也是敏感的。

基于空间混沌的图像加密设计

由于图像数据在相邻的像素之间具有高度的相关性，为降低像素之间的相关性，我们采用一种高维的空间混沌映射置换像素的位置。不失一般性，假定一个M×N的原图像，像素的位置矩阵是Qi，j。i=0，1， ...，M1，j=0， 1， ...，N1，置换过程如下：

步骤1: 针对方程（7）给初始条件x0，0，在做一些次迭代后得到Xm，n，用Xm，n作为新的X0，0，令：

显而易见，h∈[0，1]继续做空间混沌映射的迭代和方程（10），直到得到M个不同的属于（0，1）M之间的数，这些数可以重新记为hi（i=1，2...，M），这里如果，i≠j则，hi≠h j ，Qij可根据hi重新排列矩阵的行，即移动h1行到第一行， h2行到第二行，依次类推，就形成一个新的位置矩阵Qhij，对于新的矩阵，Qhij由下面步骤2诸列进行列变换。

步骤2: 用目前的x0，0对方程（7）进行迭代，令