admin 为了克服基于相位截断傅里叶变换的非对称光学图像加密系统不能抵御已知明文攻击的缺陷，我们采用球面波的自带因子扰乱输入图像空间信息的方法实现图像的加密和解密，这样既能抵御已知明文攻击，又能获得同样的加密效果和省掉输入面的随机相位掩膜，同时，在实际操作中还能减少光能的损失和相应的噪声。
一、基于相位截断傅里叶变换的非对称加密系统
基于相位截断傅里叶变换的非对称加密系统利用4f系统来实现。加密时，输入图像P(x，y)在空域受到随机相位掩膜R1(x，y)（输入平面密钥）的调制，经过傅里叶变换，再经过非线性的相位截断操作后，在频域被随机相位掩膜R2（u，v）（频谱面密钥）滤波，经过逆傅里叶变换和非线性的相位截断操作后，在输出平面上得到密文，式中，ψ(x，y)表示频域密文，R1(x，y)和R2（u，v）分别定义为exp[i2πb(x，y)]和exp[i2πb(u，v)]，b(x，y)和n(u，v)是均匀分布在[O，1]上的两个独立噪声序列，T，F和F-1分别表示相位截断操作、傅里叶变换和傅里叶逆变换。其两个解密密钥Wl(x，y)和W2（u，v）在加密过程中产生，式中，R表示振幅截断操作。
解密时将密文ψ(x，y)置于4系统的输入平面，在空域受到解密密钥W1(x，y)调制，经傅里叶变换和相位截断操作后，在频谱平面上用解密密钥W2(u，v)滤波，再经逆傅里叶变换和相位截断操作，即可恢复出明文P(x，y)，产生过程如下：
通过分析(2)式和(3)式，解密密钥与原始图像P(x，y)和两个相位掩膜R1(x，y)和R2(u，v)相关。因此，任意选择的随机相位掩膜或者密钥都可能导致错误的解密。但是，使用公开的随机相位掩膜（R1(x，y)）和R2（u，v））和任意给定的明文·密文对，根据已知明文攻击原理，发现使用任意给定的明文、密文对获得的解密密钥去解密某个待解密的密文能获得原文。由此，我们从安全性的角度对其进行改进，利用不同的球面波照射输入平面和傅里叶平面加密不同的明文抵御已知明文攻击，既能获得原非对称加密系统同样的图像加解密效果，又能省去输入平面处的相位掩膜。
二、球面波照射下的非对称加密系统
提出的球面波照射下的非对称加密系统流程如图1所示，图中圆表示乘法操作。首先，输入的图像P(x，y)被球面波S1（x，y）照射，在紧靠输入平面后面得到的复振幅分布为P(x，y)，S1（x，y），其中，S1（x，y）为球面波，其表达式表示为：
式中，c，K=2π/λ和z分别表示为一个无关紧要的可以忽略的系数、波数和球面波半径。由于S1（x，y）和随机相位掩膜R1（x，y）一样也是相位函数，因此它也具有扰乱输入图像空间信息的作用，这样用球面波照射输入图像所获得的效果与使用平行光照射输入图像再通过随机相位掩膜R1（x，y）调制产生的效果一样。由此，就可以使用球面波本身所携带的相位因子来代替随机相位掩膜R1（x，y），这样做不仅不会影响图像的解密，还能使得对于不同的明文，采用不同的球面波照射，既避免了巳知明文攻击，又在输入平面省掉了一块随机相位掩膜。这样，输入图像在空域内被球面波S1（x，y）所调制，完成空间域的编码，然后对调制后的物面波函数Sm（x，y）进行傅里叶变换和符I位截断操作得到：
最后，在频谱面上依然用同样的球面波照射，并用一个随机棚位掩膜R2(u，v)对其滤波，再进行一次傅里叶逆变换和相位截断操作，得到最后的加密图像式中，S2(u，v)的定义如(5)式所示，R2(u，v)为exp[jφ(u，v)]，φ(u，v)表示均匀分布在（O，2π）的彼此独立的随机函数，(u，v)为频率域坐标。同时，两个解密密钥在加密过程中通过振幅截断操作获得将密文ψ（x，y）置于输入面，使用解密密钥W1（x，y）对其滤波，经过傅里叶变换和相位截断操作得到：
再对G1(u，v)使用解密密钥W2(u，v)对其滤波，经过傅里叶逆变换和棚位截断操作得到原图像，过程为由于使用非线性的相位截断操作，在解密过程中，对于获得正确的解密结果并不需要球面波S1（x，y）与加密密钥R2(u，v)。同时，在整个加密过程中，仅仅改变照明方式，由平行光改为球面波照射，且在输入面省略一块随机相位掩膜，而解密过程与原基于PTFT的加密系统的解密过程一样。由此，通过对于不同的明文使用不同的球面波照射（通过更改球面波的半径或波长）既能避免被已知明文攻击，又能保持非对称加密系统所具有的非线性特性，还能在实际操作中减少光能的损失和相应的噪声。
三、计算机仿真实验
为了验证方法的可行性，作者进行了仿真实验，并对两种方法所获得的结果进行了比较，见图2。实验中，采用波长为600nm的会聚球面波来照射，球面波的半径为4cm，取图像的尺度为2cm×2cm。像素为256 x256，在MATLAB 7.O下仿真。图2a为原始图像。图2b一图2e分别是对基于PTFT的非对称加密系统和基于球面波照射的非对称加密系统对灰度图像进行加密和解密所得的仿真结果。分别对比图2b、图2d和图2c、图2e可以看出，用球面波自带的相位因子取代输入面密钥R1（x，y）及频谱面密钥R2（u，v）结合进行图像加密和解密的效果与基于PTFT的非对称加密系统加密和解密效果一样。
图2f一图2k证明基于球面波照射的非对称加密系统与基于PTFT的非对称加密系统同样能抵御无密钥解密、任选随机相位解密和加密密钥解密。图2f一图2h分别显示基于PTFT的非对称加密系统抵御无密钥解密、任选随机相位解密和加密密钥解密的仿真结果；图2i一图2k分别显示基于球面波照射的非对称加密系统抵御无密钥解密、任选随机相位解密和加密密钥解密的仿真结果。
图2l-图2p是基于PTFT的非对称加密系统和基于球面波照射的非对称加密系统进行已知明文攻击的仿真结果。图2l显示基于PTFT的非对称加密系统进行已知明文攻击的仿真结果；图2m是图2l使用数字方法（盲去卷积）处理后的解密结果；图2n是已知的明文；图2o显示基于球面波照射的非对称加密系统进行已知明文攻击的仿真结果；图2p是图2o经过与图2m同样的处理技术处理后的解密结果。从图2l和图2m可以很明显地得到基于PTFT的非对称加密系统不能抵御已知明文攻击，而图2o和图2p证明了基于球面波照射的非对称加密系统虽然只使用了一块相位掩膜R2（u，v），但是由于采用球面波照射，球面波的相位因子替代输入面的随机相位掩膜，扰乱输入图像的空间信息，却能很好地抵御已知明文攻击。
从图2l-图2p的仿真结果可以很显然地得出：在不知道球面波任何信息的情况下是无法使用已知明文攻击获得明文的。但是，攻击者在已知加密算法和公钥的情况下，可能通过任意选择球面波使用已知明文攻击原理来恢复明文。因此，有必要研究波长和半径的变化对攻击结果的灵敏度问题。为了进一步说明波长和半径的变化对攻击结果的灵敏度，使用均方误差（mean-square error，MSE）来说明：
式中，L表示图像中像素点的总个数，fi和fi’分别表示图像中的某个像素点灰度值和对应的恢复结果值。首先，为了说明波长的灵敏度问题，仅仅修改球面波的波长从- 4nm到4nm，步长Δλ=0.5nm，而保持球面波的半径不变(即球面波半径为4cm)。原始图像与攻击结果间的MSE与波长的变化关系如图3a所示。图3a显示攻击结果对于波长的变化非常敏感。同样，为了说明半径的灵敏度问题，仅仅修改球面波的半径从- 100μm到lOOμm，步长Δz=lμm，而保持球面波的波长不变（即球面波波长为600nm）。原始图像与攻击结果间的MSE与半径的变化关系如图3b所示。图3b显示MSE随着|z|的增加而增加。由上面的结果可知，攻击者即使任意选择球面波也无法恢复原文。
小知识之球面波
球面波是指波阵面为同心球面的波。
